Question

Let A = {a, b, c}, B = {u v, w} and let f and g be two functions from A to B and from B to A, respectively, defined as :
f = {(a, v), (b, u), (c, w)}, g = {(u, b), (v, a), (w, c)}.
Show that f and g both are bijections and find fog and gof.

Answer 1

Proving f is a bijection :
f = {(a, v), (b, u), (c, w)} and f : A → B
Injectivity of f: No two elements of A have the same image in B.
So, f is one-one.
Surjectivity of f: Co-domain of f = {u v, w}
Range of f = {u v, w}
Both are same.
So,  f is onto.
Hence, f is a bijection.

Proving g is a bijection :
g = {(u, b), (v, a), (w, c)} and g : B → A
Injectivity of g: No two elements of B  have the same image in A.
So, g is one-one.
Surjectivity of g: Co-domain of g = {a, b, c}
Range of g = {a, b, c}
Both are the same.
So, g is onto.
Hence, g is a bijection.

Finding  fog :
Co-domain of g is same as the domain of f.
So, fog exists and fog : {u v, w} → {u v, w}

(fog) (u) = f  (g (u)) = f (b) = u

(fog) (v) = f (g (v)) = f (a) = v

(fog) (w) = f (g (w)) = f (c) = w

So, fog = { (u, u), (v, v), (w, w) }

Finding gof :
Co-domain of f is same as the domain of g.
So, fog exists and gof : {a, b, c} → {a, b, c}

(gof) (a) = g (f (a)) = g (v) = a

(gof)  (b) = g (f (b)) = g (u) = b

(gof) (c) = g (f (c)) = g (w) = c

So, gof = { (a, a), (b, b), (c, c) }