Question

एक समकोण त्रिभुज बनाइए, जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अलावा) 4 सेमी और 3 सेमी लंबी हों। एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं की `5/3` गुनी हों। निर्माण का औचित्य बताइए।

Answer 1

यह दिया गया है कि कर्ण के अलावा अन्य भुजाओं की लंबाई 4 सेमी और 3 सेमी है। स्पष्ट रूप से, ये एक दूसरे के लंबवत होंगे।

वांछित त्रिभुज को निम्नानुसार खींचा जा सकता है।

चरण 1

एक रेखाखंड AB = 4 सेमी खींचिए। इसके साथ 90° बनाते हुए एक किरण SA खींचिए।

चरण 2

A को केंद्र मानकर 3 cm त्रिज्या का एक चाप खींचिए जो SA को C पर काटता है। BC को मिलाइए। ΔABC अभीष्ट त्रिभुज है।

चरण 3

शीर्ष C के विपरीत AB से न्यून कोण बनाते हुए एक किरण AX खींचिए।

चरण 4

रेखा खंड AX पर 5 बिंदुओं (जैसा कि 5 और 3 में 5 बड़ा है), A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, इस प्रकार खोजें कि AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A_5.

चरण 5

A₃B में शामिल हों। A₅ से होकर A₃B के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड AB को B' पर काटती है।

चरण 6

B' से होकर BC के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड AC को C' पर काटती है। ΔABC' अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य

निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि

`AB' =5/3 AB, B'C' = 5/3 BC, AC' = 5/3 AC`

In ΔABC and ΔAB'C',

∠ABC = ∠AB'C' (सभी तरीके से)

∠BAC = ∠B'AC' (सामान्य)

∴ ΔABC ∼ ΔAB'C' (AA समानता मानदंड)

`=> (AB)/(AB')=(BC)/(B'C') = (AC)/(AC') ...1`

In ΔAA₃B and ΔAA₅B',

∠A₃AB = ∠A₅AB' (सामान्य)

∠AA₃B = ∠AA₅B' (सभी तरीके से)

∴ ΔAA₃B ∼ ΔAA₅B' (AA समानता मानदंड)

`=> (AB)/(AB') = (`

`=>(AB)/(AB') = 3/5 ....2`

समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

`(AB)/(AB') = (BC)/(B'C') = (AC)/(AC') = 3/5`

`=> AB' =5/3  AB, B'C' = 5/3  BC, AC' = 5/3 AC`

यह निर्माण को सही ठहराता है।