Question

4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर उसके समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की `2/3` हों। निर्माण का औचित्य बताइए।

Answer 1

चरण 1

एक रेखाखंड AB = 4 सेमी खींचिए। बिंदु A को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए। इसी प्रकार, बिंदु B को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए। ये चाप एक दूसरे को बिंदु C पर काटेंगे। अब, AC = 5 सेमी और BC = 6 सेमी और ΔABC अभीष्ट त्रिभुज है।

चरण 2

शीर्ष C के विपरीत दिशा में रेखा AB के साथ न्यून कोण बनाते हुए एक किरण AX खींचिए।

चरण 3

लाइन AX पर 3 बिंदु A₁, A₂, A₃ (जैसा कि  2 और 3 के बीच बड़ा है) का पता लगाएँ जैसे कि AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃

चरण 4

BA₃ को मिलाइए और A₂ से होकर BA₃ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो AB को बिंदु B पर काटती है।

चरण 5

रेखा BC के समांतर B' से होकर एक रेखा खींचिए जो AC को C' पर प्रतिच्छेद करे।

ΔABC' अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य

निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि

`AB' = 2/3AB, B'C'  = 2/3BC, AC' = 2/3 AC`

निर्माण से, हमारे पास B'C'  || BC पूर्व

∴ ∠AB'C'= ∠ABC (सभी तरीके से)

In ΔAB'C' and ΔABC,

∠AB'C' = ∠ABC (ऊपर सिद्ध)

 ∠B'AC' = ∠BAC (ऊपर सिद्ध)

∴ ΔAB'C' ~ ΔABC (AA समानता मानदंड)

`=> (AB')/(AB) = (B'C')/(BC) = (AC')/(AC) ....(1)`

In ΔAA₂B' and ΔAA₃B,

∠A₂AB' = ∠A₃AB (सामान्य)

∠AA₂B' = ∠AA₃B (सभी तरीके से)

∴ ΔAA₂B' ∼ ΔAA₃B (AA समानता मानदंड)

`=> (AB')/(AB) = (`

`=> (AB')/(AB) = 2/3    ....(2)`

समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

`(AB')/(AB) = (B'C')/(BC) = (AC')/(AC) = 2/3`

`=>AB' = 2/3(AB), B'C' = 2/3(BC), AC' = 2/3(AC)`

यह निर्माण को सही ठहराता है।