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प्रश्न
4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर उसके समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की `2/3` हों। निर्माण का औचित्य बताइए।
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उत्तर
चरण 1
एक रेखाखंड AB = 4 सेमी खींचिए। बिंदु A को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए। इसी प्रकार, बिंदु B को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए। ये चाप एक दूसरे को बिंदु C पर काटेंगे। अब, AC = 5 सेमी और BC = 6 सेमी और ΔABC अभीष्ट त्रिभुज है।
चरण 2
शीर्ष C के विपरीत दिशा में रेखा AB के साथ न्यून कोण बनाते हुए एक किरण AX खींचिए।
चरण 3
लाइन AX पर 3 बिंदु A1, A2, A3 (जैसा कि 2 और 3 के बीच बड़ा है) का पता लगाएँ जैसे कि AA1 = A1A2 = A2A3
चरण 4
BA3 को मिलाइए और A2 से होकर BA3 के समानांतर एक रेखा खींचिए जो AB को बिंदु B पर काटती है।
चरण 5
रेखा BC के समांतर B' से होकर एक रेखा खींचिए जो AC को C' पर प्रतिच्छेद करे।
ΔABC' अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य
निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि
`AB' = 2/3AB, B'C' = 2/3BC, AC' = 2/3 AC`
निर्माण से, हमारे पास B'C' || BC पूर्व
∴ ∠AB'C'= ∠ABC (सभी तरीके से)
In ΔAB'C' and ΔABC,
∠AB'C' = ∠ABC (ऊपर सिद्ध)
∠B'AC' = ∠BAC (ऊपर सिद्ध)
∴ ΔAB'C' ~ ΔABC (AA समानता मानदंड)
`=> (AB')/(AB) = (B'C')/(BC) = (AC')/(AC) ....(1)`
In ΔAA2B' and ΔAA3B,
∠A2AB' = ∠A3AB (सामान्य)
∠AA2B' = ∠AA3B (सभी तरीके से)
∴ ΔAA2B' ∼ ΔAA3B (AA समानता मानदंड)
`=> (AB')/(AB) = (`
`=> (AB')/(AB) = 2/3 ....(2)`
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
`(AB')/(AB) = (B'C')/(BC) = (AC')/(AC) = 2/3`
`=>AB' = 2/3(AB), B'C' = 2/3(BC), AC' = 2/3(AC)`
यह निर्माण को सही ठहराता है।
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