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प्रश्न
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और ∠ABC = 60 हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की `3/4` गुनी हों। औचित्य बताइए
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उत्तर
∠B = 45°, ∠A = 105°
किसी त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है।
∠A + ∠B + ∠C = 180°
105° + 45° + ∠C = 180°
∠C = 180° − 150°
∠C = 30°
वांछित त्रिभुज को निम्नानुसार खींचा जा सकता है।
चरण 1
एक ΔABC खींचिए जिसकी भुजा BC = 7 सेमी, B = 45°, C = 30° हो।
चरण 2
शीर्ष A के विपरीत दिशा में BC से न्यून कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए।
चरण 3
BX पर 4 अंक (चूंकि 4 में 4 और 3 में बड़ा है), B1, B2, B3, B4 का पता लगाएँ।
चरण 4
B3C. से जुड़ें। B4 से होकर B3C के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित BC को C' पर प्रतिच्छेद करती है।
चरण 5
C' से होकर AC के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखाखंड को C' पर काटती है। अभीष्ट त्रिभुज A'BC' है।
औचित्य
निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है
`A'B = 4/3 AB, BC' = 4/3BC , A'C' = 4/3 AC`
n ΔABC and ΔA'BC',
∠ABC = ∠A'BC' (सामान्य)
∠ACB = ∠A'C'B (सभी तरीके से)
∴ ΔABC ∼ ΔA'BC' (AA समानता मानदंड)
`=>(AB)/(A'B) = (BC)/(BC') = (AC)/(A'C') ....1`
In ΔBB3C and ΔBB4C',
∠B3BC = ∠B4BC' (सामान्य)
∠BB3C = ∠BB4C' (सभी तरीके से)
∴ ΔBB3C ∼ ΔBB4C' (AA समानता मानदंड)
`=>(BC)/(BC') = `
`=>(BC)/(BC') = 3/4 ...(2)`
समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`(AB)/(A'B) = (BC)/(BC')=(AC)/(A'C') = 3/4`
`=> A'B = 4/3 AB, BC' = 4/3 BC, A'C' = 4/3 AC`
यह निर्माण को सही ठहराता है।
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