Question

5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की `7/5` हों। निर्माण का औचित्य बताइए।

Answer 1

चरण 1

5 सेमी का रेखाखंड AB खींचिए। A और B को केंद्र मानकर क्रमशः 6 सेमी और 7 सेमी त्रिज्या के चाप खींचे। मान लीजिए ये चाप एक दूसरे को बिंदु C पर काटते हैं। ABC अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी है।

चरण 2

शीर्ष C के विपरीत दिशा में रेखा AB के साथ न्यून कोण बनाते हुए एक किरण AX खींचिए।

चरण 3

लाइन AX पर 7 बिंदुओं, A₁, A₂, A₃, A₄ A₅, A₆, A₇ (जैसा कि  5 और 7 के बीच बड़ा है) का पता लगाएँ, जैसे कि AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅ = A₅A₆ = A₆A₇.

चरण 4

BA₅ को मिलाइए और A₇ से होकर BA₅ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड AB को बिंदु B' पर काटती है।

चरण 5

B' से होकर BC के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड AC को C' पर प्रतिच्छेद करती है। ΔABC' अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य

निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि

AB' = 7/5AB, B'C' = 7/5(BC), AC'=7/5 (AC)

In ΔABC and ΔAB'C',

∠ABC = ∠AB'C' (सभी तरीके से)

∠BAC = ∠B'AC' (सामान्य)

∴ ΔABC ∼ ΔAB'C' (AA समानता मानदंड)

`=> (AB)/(AB')=(BC)/(B'C')=(AC)/(AC') ....(1)`

In ΔAA₅B and ΔAA₇B',

∠A₅AB = ∠A₇AB' (सामान्य)

∠AA₅B = ∠AA₇B' (सभी तरीके से)

∴ ΔAA₅B ∼ ΔAA₇B' (AA समानता मानदंड)

`=> (AB)/(AB') = (`

`=>(AB)/(AB')=5/7 ....(2)`

समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

`(AB)/(AB')=(BC)/(B'C') = (AC)/(AC') = 5/7`

`=>AB' = 7/5 AB, B'C' =  7/5 BC, AC' = 7/5 AC`

यह निर्माण को सही ठहराता है।