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प्रश्न
5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की `7/5` हों। निर्माण का औचित्य बताइए।
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उत्तर
चरण 1
5 सेमी का रेखाखंड AB खींचिए। A और B को केंद्र मानकर क्रमशः 6 सेमी और 7 सेमी त्रिज्या के चाप खींचे। मान लीजिए ये चाप एक दूसरे को बिंदु C पर काटते हैं। ABC अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी है।
चरण 2
शीर्ष C के विपरीत दिशा में रेखा AB के साथ न्यून कोण बनाते हुए एक किरण AX खींचिए।
चरण 3
लाइन AX पर 7 बिंदुओं, A1, A2, A3, A4 A5, A6, A7 (जैसा कि 5 और 7 के बीच बड़ा है) का पता लगाएँ, जैसे कि AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6A7.
चरण 4
BA5 को मिलाइए और A7 से होकर BA5 के समानांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड AB को बिंदु B' पर काटती है।
चरण 5
B' से होकर BC के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड AC को C' पर प्रतिच्छेद करती है। ΔABC' अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य
निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि
AB' = 7/5AB, B'C' = 7/5(BC), AC'=7/5 (AC)
In ΔABC and ΔAB'C',
∠ABC = ∠AB'C' (सभी तरीके से)
∠BAC = ∠B'AC' (सामान्य)
∴ ΔABC ∼ ΔAB'C' (AA समानता मानदंड)
`=> (AB)/(AB')=(BC)/(B'C')=(AC)/(AC') ....(1)`
In ΔAA5B and ΔAA7B',
∠A5AB = ∠A7AB' (सामान्य)
∠AA5B = ∠AA7B' (सभी तरीके से)
∴ ΔAA5B ∼ ΔAA7B' (AA समानता मानदंड)
`=> (AB)/(AB') = (`
`=>(AB)/(AB')=5/7 ....(2)`
समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`(AB)/(AB')=(BC)/(B'C') = (AC)/(AC') = 5/7`
`=>AB' = 7/5 AB, B'C' = 7/5 BC, AC' = 7/5 AC`
यह निर्माण को सही ठहराता है।
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