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प्रश्न
आधार 8 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजा समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की `1 1/2` गुणा है।निर्माण का औचित्य बताइए
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उत्तर
मान लीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी लंबाई CA और CB समान है, आधार AB 8 सेमी है, और AD 4 सेमी की ऊंचाई है।
एक ΔAB'C' जिसकी भुजाएँ ΔABC की `3/2` गुनी हैं, को निम्नानुसार खींचा जा सकता है।
चरण 1
8 सेमी का रेखाखंड AB खींचिए। बिंदु A और B को केंद्र मानकर रेखाखंड के दोनों ओर समान त्रिज्या के चाप खींचिए। माना ये चाप एक दूसरे को O और O' पर काटते हैं। OO' से जुड़ें। माना OO' AB को D पर प्रतिच्छेद करता है।
चरण 2
D को केंद्र मानकर, 4 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड OO' को बिंदु C पर काटता है। एक समद्विबाहु ΔABC बनता है, जिसमें CD (ऊंचाई) 4 सेमी और AB (आधार) 8 सेमी है।
चरण 3
शीर्ष C के विपरीत दिशा में रेखा खंड AB के साथ न्यून कोण बनाते हुए एक किरण AX खींचिए।
चरण 4
AX पर 3 बिंदु (जैसा कि 3 और 2 के बीच बड़ा है) A1, A2, और A3 इस प्रकार खोजें कि AA1 = A1A2 = A2A3.
चरण 5
BA2 को मिलाइए और A3 से होकर BA2 के समानांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड AB को बिंदु B' पर काटती है।
चरण 6
B' से होकर BC के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा खंड AC को C' पर प्रतिच्छेद करती है। ΔABC' अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य
निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि
`AB' = 3/2 AB, B'C' = 3/2 BC, AC' = 3/2 AC`
In ΔABC and ΔAB'C',
∠ABC = ∠AB'C' (सभी तरीके से)
∠BAC = ∠B'AC' (सामान्य)
∴ ΔABC ∼ ΔAB'C' (AA समानता मानदंड)
`=> (AB)/(AB')= (BC)/(B'C') = (AC)/(AC') ....(1)`
In ΔAA2B and ΔAA3B',
∠A2AB = ∠A3AB' (सामान्य)
∠AA2B = ∠AA3B' (सभी तरीके से)
∴ ΔAA2B ∼ ΔAA3B' (AA )
`=> (AB)/(AB') = (`
`=>(AB)/(AB') = 2/3 .....2`
समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`(AB)/(AB')=(BC)/(B'C') = (AC)/(AC') = 2/3`
`=> AB' = 3/2 AB, B'C' = 3/2 BC, AC' = 3/2 AC`
यह निर्माण को सही ठहराता है।
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