Question

दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

Answer 1

मान लीजिए ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

 

(i) यह सिद्ध करने के लिए कि विकर्ण बराबर हैं, हमें AC = BD सिद्ध करना होगा।

ΔABC और ΔBAD में, हमारे पास है

AB = BA           ...[उभयनिष्ठ]

BC = AD          ...[वर्ग ABCD की भुजाएँ]

∠ABC = ∠BAD        ...[प्रत्येक कोण 90° है]

∴ ΔABC ≅ ΔBAD    ...[SAS सर्वांगसमता से]

⇒ AC = BD            ...[CPCT से]       ...(1)

(ii) AD || BC और AC एक तिर्यक रेखा है।        ...[∵ वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है।]

∴ ∠1 = ∠3              ...[एकांतर अंतः कोण बराबर हैं।]

इसी प्रकार, ∠2 = ∠4

अब, ΔOAD और ΔOCB में, हमारे पास है

AD = CB           ...[वर्ग ABCD की भुजाएँ]

∠1 = ∠3           ...[सिद्ध हुआ।]

∠2 = ∠4           ...[सिद्ध हुआ।]

∴ ΔOAD ≅ ΔOCB           ...[ASA सर्वांगसमता से]

⇒ OA = OC और OD = OB          ...[CPCT से]      ...(2)

अर्थात् विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।

(iii) ΔOBA और ΔODA में, हमारे पास है

OB = OD                 ...[सिद्ध हुआ।]

BA = DA                ...[वर्ग ABCD की भुजाएँ]

OA = OA               ...[उभयनिष्ठ]

∴ ΔOBA ≅ ΔODA        ...[SSS सर्वांगसमता से]

⇒ ∠AOB = ∠AOD             ...[CPCT से]      ... (3)

∵ ∠AOB और ∠AOD एक रैखिक युग्म बनाते हैं।

∴ ∠AOB + ∠AOD = 180°

∴ ∠AOB = ∠AOD = 90°        ...[(3) से]

⇒ AC ⊥ BD         ...(4)

(1), (2) और (4) से हम पाते हैं कि AC और BD बराबर हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।