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प्रश्न
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
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उत्तर
मान लीजिए ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
(i) यह सिद्ध करने के लिए कि विकर्ण बराबर हैं, हमें AC = BD सिद्ध करना होगा।
ΔABC और ΔBAD में, हमारे पास है
AB = BA ...[उभयनिष्ठ]
BC = AD ...[वर्ग ABCD की भुजाएँ]
∠ABC = ∠BAD ...[प्रत्येक कोण 90° है]
∴ ΔABC ≅ ΔBAD ...[SAS सर्वांगसमता से]
⇒ AC = BD ...[CPCT से] ...(1)
(ii) AD || BC और AC एक तिर्यक रेखा है। ...[∵ वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है।]
∴ ∠1 = ∠3 ...[एकांतर अंतः कोण बराबर हैं।]
इसी प्रकार, ∠2 = ∠4
अब, ΔOAD और ΔOCB में, हमारे पास है
AD = CB ...[वर्ग ABCD की भुजाएँ]
∠1 = ∠3 ...[सिद्ध हुआ।]
∠2 = ∠4 ...[सिद्ध हुआ।]
∴ ΔOAD ≅ ΔOCB ...[ASA सर्वांगसमता से]
⇒ OA = OC और OD = OB ...[CPCT से] ...(2)
अर्थात् विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।
(iii) ΔOBA और ΔODA में, हमारे पास है
OB = OD ...[सिद्ध हुआ।]
BA = DA ...[वर्ग ABCD की भुजाएँ]
OA = OA ...[उभयनिष्ठ]
∴ ΔOBA ≅ ΔODA ...[SSS सर्वांगसमता से]
⇒ ∠AOB = ∠AOD ...[CPCT से] ... (3)
∵ ∠AOB और ∠AOD एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ ∠AOB + ∠AOD = 180°
∴ ∠AOB = ∠AOD = 90° ...[(3) से]
⇒ AC ⊥ BD ...(4)
(1), (2) और (4) से हम पाते हैं कि AC और BD बराबर हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
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