Question

समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति में)। दर्शाइए कि

1. यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
2. ABCD एक समचतुर्भुज है

 

Answer 1

(i) ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

∴ ∠DAC = ∠BCA       ...(एकांतर अंत: कोण)    ...(1)

और, ∠BAC = ∠DCA    ...(एकांतर अंत: कोण)   ...(2)

हालाँकि, यह दिया गया है कि AC, ∠A को समद्विभाजित करता है।

∴ ∠DAC = ∠BAC       ...(3)

समीकरण (1), (2) और (3) से, हम प्राप्त करते हैं

∠DAC = ∠BCA = ∠BAC = ∠DCA      ...(4)

⇒ ∠DCA = ∠BCA

इसलिए, AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।

(ii) समीकरण (4) से, हम प्राप्त करते हैं

∠DAC = ∠DCA

∴ DA = DC          ...(बराबर कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)

हालाँकि, DA = BC और AB = CD      ...(समानांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

∴ AB = BC = CD = DA

अतः, ABCD एक समचतुर्भुज है।