Question

ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि: 

1. ABCD एक वर्ग है।
2. विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।

Answer 1

(i) यह दिया गया है कि ABCD एक आयत है।

∴ ∠A = ∠C

⇒ `1/2∠"A" = 1/2∠"C"`

⇒ ∠DAC = ∠DCA              ...(AC, ∠A तथा ∠C को समद्विभाजित करता है।)

CD = DA                  ...(बराबर कोणों के सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं।)

हालाँकि, DA = BC और AB = CD       ...(एक आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)

∴ AB = BC = CD = DA

ABCD एक आयत है और इसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।

अतः, ABCD एक वर्ग है।

(ii) आइए BD को जोड़ें।

ΔBCD में,

BC = CD            ...(एक वर्ग की भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं।)

∠CDB = ∠CBD     ...(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)

हालाँकि, ∠CDB = ∠ABD     ...(AB || CD के लिए एकांतर अंतः कोण)

∴ ∠CBD = ∠ABD

⇒ BD, ∠B को समद्विभाजित करता है।

साथ ही, ∠CBD = ∠ADB     ...(BC || AD के लिए एकांतर अंतः कोण)

⇒ ∠CDB = ∠ABD

∴ BD, ∠D को समद्विभाजित करता है।