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प्रश्न
यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
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उत्तर
मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। यह दर्शाने के लिए कि ABCD एक आयत है, हमें यह सिद्ध करना होगा कि इसका एक अंत: कोण 90° है।
ΔABC और ΔDCB में,
AB = DC ...(समानांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)
BC = BC ...(उभयनिष्ठ)
AC = DB ...(दिया गया है।)
∴ ΔABC ≅ ΔDCB ...(SSS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ ∠ABC = ∠DCB
यह ज्ञात है कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के कोणों के मापों का योग 180º होता है।
∠ABC + ∠DCB = 180° ...(AB || CD)
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180°
⇒ 2∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
क्योंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक अंत: कोण 90° है, इसलिए ABCD एक आयत है।
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