Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दोन संख्यांच्या वर्गांमधील फरक 120 आहे. लहान संख्येचा वर्ग हा मोठ्या संख्येच्या दुपटीइतका आहे, तर त्या संख्या शोधा.
Advertisements
उत्तर
समजा, x आणि y अशा संख्या आहेत, की x > y
∴ दिलेल्या अटीनुसार, दोन संख्यांच्या वर्गांमधील फरक 120 आहे.
x2 - y2 = 120 .....(i)
दुसऱ्या अटीनुसार, लहान संख्येचा वर्ग हा मोठ्या संख्येच्या दुपटीइतका आहे.
y2 = 2x .....(ii)
y2 = 2x ही किंमत समीकरण (i) मध्ये भरून,
x2 - 2x = 120
∴ x2 - 2x - 120 = 0
∴ x2 - 12x + 10x - 120 = 0 ....`[(-120 = -12; 10),(-12xx 10 = - 120),(- 12 + 10 = - 2)]`
∴ x(x - 12) + 10(x - 12) = 0
∴ (x - 12)(x + 10) = 0
जर दोन संख्यांचा गुणाकार शून्य असेल, तर त्या दोन संख्यांपैकी किमान एक संख्या शून्य असते, या गुणधर्माच्या उपयोजनाने,
∴ x - 12 = 0 किंवा x + 10 = 0
∴ x = 12 किंवा x = - 10
जर x = - 10
तर, y2 = 2x = 2(- 10) = - 20
परंतु, कोणत्याही संख्येचा वर्ग शून्य असू शकत नाही.
∴ x = 12
लहान संख्या = y2 = 2x
∴ y2 = 2 × 12
∴ y2 = 24
∴ y = `+- sqrt24` ....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]
∴ लहान संख्या `sqrt24` व मोठी संख्या 12 किंवा लहान संख्या `- sqrt24` व मोठी संख्या 12 या आहेत.
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
दोन क्रमागत सम नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गाची बेरीज 244 आहे, तर त्या संख्या शोधा.
श्री. मधुसूदन यांच्या संत्राबागेत आडव्या रांगेतील झाडांची संख्या, उभ्या रांगेतील झाडांच्या संख्येपेक्षा 5 ने अधिक आहे. जर संत्राबागेत एकूण 150 झाडे असतील, तर आडव्या तसेच उभ्या रांगेतील झाडांची संख्या किती? खालील प्रवाहआकृतीच्या आधारे उदाहरण सोडवा.
सुयशला गणिताच्या पहिल्या चाचणीत मिळालेल्या गुणांपेक्षा दुसऱ्या चाचणीत 10 गुण अधिक मिळाले. दुसऱ्या चाचणीतील गुणांची 5 पट ही पहिल्या चाचणीतील गुणांच्या वर्गाइतकी आहे, तर त्याचे पहिल्या चाचणीतील गुण किती?
एका नदीत, बोटीने प्रवाहाच्या विरुद्ध 36 किमी जाऊन परत त्याच जागी येण्यास प्रतीकला 8 तास लागतात. बोटीचा संथ पाण्यातील वेग ताशी 12 किमी असल्यास नदीच्या प्रवाहाचा वेग काढा.
समलंब मध्ये `square`ABCD मध्ये AB || CD असून त्याचे क्षेत्रफळ 33 चौसेमी आहे, तर आकृतीतील दिलेल्या माहितीवरून चौकोनाच्या चारही बाजूंची लांबी खालील कृती पूर्ण करून काढा.
उकल:
`square`ABCD समलंब चौकोन आहे. AB || CD
`"A"(square "ABCD") = 1/2 xx ("AB" + "CD") xx square`
∴ `33 = 1/2(x + 2x + 1) xx square`
∴ `square` = (3x + 1) × `square`
∴ 3x2 + `square` - `square` = 0
∴ 3x (____) + 10 (____) = 0
∴ (3x + 10)(_____) = 0
∴ (3x + 10) = 0 किंवा `square` = 0
∴ x = `- 10/3` किंवा x = `square`
परंतु, लांबी ऋण नसते.
∴ `x ne (- 10)/3` ∴ x = `square`
AB = ______, CD = ______, AD = BC = _______
रंजनाला वाढदिवसानिमित्त 540 संत्री काही विद्यार्थ्यांना समान वाटायची आहेत. जर 30 विद्यार्थी जास्त असते, तर प्रत्येकाला 3 संत्री कमी मिळाली असती, तर विद्यार्थ्यांची संख्या काढा.
तळवेल येथील शेतकरी श्री. दिनेश यांच्या आयताकृती शेतीची लांबी ही रुंदीच्या दुपटीपेक्षा 10 मीटरने अधिक आहे. त्यांनी त्या शेतात पावसाचे पाणी पुनर्भरणासाठी शेताच्या रुंदीच्या `1/3` पट बाजू असणाऱ्या चौरसाकृती शेततळ्याची निर्मिती केली. तेव्हा मूळ शेताचे क्षेत्रफळ हे शेततळ्याच्या क्षेत्रफळाच्या 20 पट होते, तर त्या शेताची लांबी आणि रुंदी, तसेच शेततळ्याच्या बाजूची लांबी काढा.
खालील शाब्दिक उदाहरण सोडवण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
दोन क्रमागत सम नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गांची बेरीज 244 आहे, तर त्या संख्या शोधा.
कृती: पहिली सम नैसर्गिक संख्या x मानू.
दुसरी क्रमागत सम नैसर्गिक संख्या = (______)
दिलेल्या अटीनुसार,
x2 + (x + 2)2 = 244
x2 + x2 + 4x + 4 – (______) = 0
2x2 + 4x – 240 = 0
x2 + 2x – 120 = 0
x2 + (______) – (______) – 120 = 0
x (x + 12) – (______) (x + 12) = 0
(x + 12) (x – 10) = 0
x = (______) / x = 10
परंतु, नैसर्गिक संख्या ऋण नसते, म्हणून x = -12 शक्य नाही.
म्हणून, पहिली नैसर्गिक संख्या x = 10 असेल.
म्हणून, दुसरी नैसर्गिक संख्या = x + 2 = 10 + 2 = 12 असेल.
460 या संख्येला एका नैसर्गिक संख्येने भागल्यास भागाकार भाजकाच्या 9 पटीपेक्षा 2 ने अधिक येत असून बाकी 5 येते, तर भागाकार व भाजक किती?
पाच क्रमागत नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गाची बेरीज 1455 आहे, तर त्या संख्या शोधा.
