SSC (Marathi Medium) 10th Standard Board Exam [इयत्ता १० वी] - Maharashtra State Board Question Bank Solutions for Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती]

काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणाऱ्या बाजू 9 सेमी व 12 सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा. 

कृती: ∆PQR मध्ये, ∠PQR = 90°

पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

PQ² + `square` = PR² .........…(i)

PR² = 9² + 12²

PR² = `square + 144`

∴ PR² = `square`

∴ PR = 15

त्रिकोणाचा कर्ण = `square` 

सोबतच्या आकृतीत, ∆QPR मध्ये, ∠QPR = 90°, PM ⊥ QR, PM = 10, QM = 8 यावरून QR काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. 

कृती: 

∆PQR मध्ये, PM ⊥ QR

∠PMQ = 90°,

∆PMQ मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

PM² + `square` = PQ² …(i)

∴ PQ² = 10² + 8²

∴ PQ² = `square` + 64

PQ = `sqrt164`

∠PMR = 90°

यावरून, ∆QPR ~ ∆QMP ~ ∆PMR

∴ ∆QMP ~ ∆PMR

∴ `"PM"/"RM" =  "QM"/"PM"`

∴ PM² = RM × QM

∴ 10² = RM × 8

RM = `100/8 = square` आणि QR = QM + MR

QR = `square + 25/2 = 41/2`

एका आयताचे क्षेत्रफळ 192 चौसेमी असून त्याची लांबी 16 सेमी आहे, तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

कृती: सोबतच्या आकृतीत, `square`LMNT हा आयत आहे.

आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी

∴ आयताचे क्षेत्रफळ = `square` × रुंदी

रुंदी = 12 सेमी

∠TLM = 90° [आयताचा प्रत्येक कोन काटकोन असतो.]

∆TLM मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

TL² + `square` = TM²

TM² = `square` + 12²

TM² = `square` + 144

TM = 20

∆LMN मध्ये, l = 5, m = 13, n = 12, तर ∆LMN हा काटकोन त्रिकोण आहे किंवा नाही ते ठरवण्यासाठी कृती करा.  [l, m, n या ∠L, ∠M, व ∠N यांच्या समोरील बाजू आहेत.]

कृती: ∆LMN मध्ये, l = 5, m = 13, n = `square`

l² = `square`, m² = 169; n² = 144.

l² + n² = 25 + 144 = `square`

`square^2` + l² = m²

∴ पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, ∆LMN हा काटकोन त्रिकोण आहे.

सोबतच्या आकृतीत, ∠DFE = 90°, FG ⊥ ED, जर GD = 8, FG = 12, lej (1) EG, (2) FD आणि (3) EF काढा.

समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाच्या एकरूप बाजूंची लांबी 7 सेमी आहे. त्याची परिमिती काढा.

A केंद्र असलेल्या वर्तुळाला रेख DP आणि रेख DQ हे स्पर्शिकाखंड आहेत, जर DP = 7 सेमी, तर रेख DQ ची लांबी काढा? 

आकृतीमध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे सपर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो हे दाखवण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

सिद्धता:

रेख OB आणि OC काढा. 

l(AB) = r ..........…[पक्ष] (i)

AB = AC ..............`square` (ii)

परंतु, OB = OC = r .............`square` (iii)

∴ (i), (ii) व (iii) वरून

AB = `square` = OB = OC = r

∴ `square`ABOC हा `square` चौकोन आहे.

तसेच, ∠OBA = `square` .........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

एक कोन काटकोन असणारा `square` चौकोन चौरस होतो.

∴ `square`ABOC हा चौरस आहे.

O केंद्र असलेल्या वर्तुळाचा रेख PQ हा व्यास आहे. बिंदू C मधून काढलेली स्पर्शिका वर्तुळास बिंदू P आणि Q बिंदूंतून काढलेल्या स्पर्शिकांना अनुक्रमे A आणि B बिंदूत छेदतात, तर सिद्ध करा, की ∠AOB = 90°

आकृतीमध्ये, ΔABC हा समद्विभुज त्रिकोण असून त्याची परिमिती 44 सेमी आहे. बाजू AB आणि बाजू BC एकरूप असून पाया AC ची लांबी 12 सेमी आहे. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे एक वर्तुळ तिन्ही बाजूंना स्पर्श करते, तर बिंदू B पासून वर्तुळास काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.

पक्ष: काटकोन ΔABC मध्ये एक वर्तुळ अंतर्लिखित केलेले आहे, ∠ACB = 90°. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे.

साध्य: 2r = a + b – c 

दोन असमान (भिन्न) त्रिज्यांच्या वर्तुळांमध्ये जर AB आणि CD त्यांच्या सामाईक स्पर्शिका असतील, तर रेख AB ≅ रेख CD दाखवा.

जर ΔABC ∼ ΔDEF आणि ∠A = 48°, तर ∠D = ______.

वरील आकृतीत रेख AC आणि रेख BD परस्परांना P बिंदूत छेदतात. जर `"AP"/"CP" = "BP"/"DP"` तर ΔABP ∼ ΔCDP दाखवण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती: ΔABP व ΔCDP मध्ये

`"AP"/"CP" = "BP"/"DP"  ....square`

∠APB ≅ `square` ...... विरुद्ध कोन

∴ `square` ∼ ΔCDP  ....... समरूपतेची `square` कसोटी.

वरील आकृतीत `square`ABCD हा आयत आहे. जर AB = 5, AC = 13, तर बाजू BC ची लांबी काढण्यासाठी खालील कृती पर्ण करा.

कृती: ΔABC हा `square` त्रिकोण आहे.

∴ पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,

AB² + BC² = AC²

∴ 25 + BC² = `square`

∴ BC² = `square`

∴ BC = `square`

वरील आकृतीत, ΔABC मध्ये रेख XY || बाजू  AC, जर 2AX = 3BX आणि XY = 9, तर AC ची किंमत काढा.

3 सेमी व 5 सेमी त्रिज्या आणि केंद्र O असलेली दोन एककेंद्री वर्तुळे काढा. मोठया वर्तुळावर कोणताही एक A बिंदू घ्या. बिंदू  A मधून लहान वर्तुळाला स्पर्शिका काढा. त्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी मोजा व लिहा. पायथागोरसच्या प्रमेयाचा उपयोग करून स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.

वरील आकृतिमध्ये दाखविल्याप्रमाणे, ΔABC च्या बाजू BC वरील P बिंदूत एक वर्तुळ बाहेरून स्पर्श करते. वाढवलेल्या रेषा AC व रेषा AB, त्या वर्तुळाला अनुक्रमे बिंदू N व बिंदू M मध्ये स्पर्श करतात. तर सिद्ध करा: AM = `1/2`(ΔABC ची परिमिती)

समलंब चौकोन ABCD मध्ये बाजू AB || बाजू CD चौकोनाचे कर्ण हे एकमेकांना बिंदू P मध्ये छेदतात.

त्यावरून खालील प्रश्‍नांची उत्तरे लिहा:

1. वरील दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा.
2. व्युत्क्रम कोन व विरुद्ध कोनांची प्रत्येकी एक जोडी लिहा.
3. समरूप त्रिकोणांची नावे समरूपतेच्या कसोटीसह लिहा.