Question

O केंद्र असलेल्या वर्तुळाचा रेख PQ हा व्यास आहे. बिंदू C मधून काढलेली स्पर्शिका वर्तुळास बिंदू P आणि Q बिंदूंतून काढलेल्या स्पर्शिकांना अनुक्रमे A आणि B बिंदूत छेदतात, तर सिद्ध करा, की ∠AOB = 90°

Answer 1

   

पक्ष: PQ हा वर्तुळाचा व्यास आहे. बिंदू P, Q, C हे स्पर्शिकांचे स्पर्शबिंदू आहेत.

साध्य: ∠AOB = 90°

रचना: रेख OC काढा.

उकल:

ΔOPA आणि ΔOCA मध्ये,

बाजू OP ≅ बाजू OC …........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या] 

बाजू OA ≅ बाजू OA ..........[सामाईक बाजू]

बाजू PA ≅ बाजू CA ...........…[स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय]

∴ ΔOPA ≅ ∠OCA ...........[एकरूपतेची बाबाबा कसोटी]

∴ ∠AOP ≅ ∠AOC ..........[एकरूप त्रिकोणांचे संगत कोन]

समजा, m∠AOP = m∠AOC = x ......(i)

त्याचप्रमाणे, ∠BOC ≅ ∠BOQ हे सिद्ध करता येईल.

समजा, m∠BOC = m∠BOQ = y ......(ii)

m∠AOP + m∠AOC + m∠BOC + m∠BOQ = 180° …[रेषीय कोन]

∴ x + x + y + y = 180° …[(i) व (ii) वरून]

∴ 2x + 2y = 180°

∴ 2(x + y) = 180°

∴ x + y = 90° ......(iii)

आता, ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC

= x + y .............[(i) व (ii) वरून]

∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC

= x + y

∴ ∠AOB = 90° ............[(iii) वरून]