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आकृति में m(चाप NS) = 125°, m(चाप EF) = 37°, तो ∠NMS का माप ज्ञात कीजिए।
Concept: स्पर्श वृत्त (Touching Circle)
यदि ΔABC ∼ ΔDEF तथा ∠A = 48° हो, तो ∠D = ______.
Concept: स्पर्श वृत्त प्रमेय (Theorem of Touching Circles)
‘O’ केंद्रवाले वृत्त के बाह्य बिंदु ‘P’ से वृत्त पर स्थित बिंदु A से स्पर्श रेखा AP खींची गई है। OP = 12 सेमी तथा ∠OPA = 30° हो, तो वृत्त की त्रिज्या ______ होगी।
Concept: स्पर्शरेखाखंड का प्रमेय (Tangent Segment Theorem)
जीवा AB तथा जीवा CD, ‘O’ केंद्रवाले वृत्त की सर्वागसम जीवाएँ हैं। यदि m(चाप AB) = 120° हो, तो m(चाप CD) ज्ञात करो।
Concept: चाप के मापों के योग का गुणधर्म (Property of Sum of Measures of Arcs)
दी गई आकृति में, m(चाप DXE) = 105°, m(चाप AYC) = 47° हो, तो ∠DBE का मान ज्ञात करो।
Concept: जीवाओं का अंतःछेदन प्रमेय (Theorem of Internal Division of Chords)
दी गई आकृति में, जीवा PQ तथा जीवा RS एक-दूसरे को बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करती हैं। यदि ∠STQ = 58° तथा ∠PSR = 24° हो, ही तो निम्न कृति पूर्ण करके सिद्ध करो:
∠STQ = `1/2` [m(चाप PR) + m(चाप SQ)]
कृति: ΔPTS में,
∠STQ = ∠STQ – `square` ...(बहिष्कोण प्रमेय)
∠SPQ = 34°
m(चाप QS) = 2 × `square`° = 68° ..........(`square`)
उसी प्रकार, m(चाप PR) = 2∠PSR = `square`
`1/2` [m(चाप PR) + m(चाप PR)] = `1/2` × `square` = 58° ..........(1)
परंतु, ∠STQ = 58° .............. (2) (दिया है।)
∴ `1/2` [m(चाप PR) + m(चाप QS)] = ∠______ ...........[(1) तथा (2) से]
Concept: अंतर्लिखित कोण का प्रमेय
दी गई आकृति में, C केंद्रवाले वृत्त के बाह्य बिंदु A से खींची गई स्पर्श रेखाएँ AB तथा AD हैं। सिद्ध करो कि: ∠A = `1/2` [m(चाप BYD – m(चाप BXD)]
Concept: स्पर्शरेखा-त्रिज्या प्रमेय (Tangent Theorem)
केंद्र ‘O’ तथा 3 सेमी तथा 5 सेमी त्रिज्या लेकर दो एककेंद्रीय वृत्त खींचो। बड़े वृत्त पर स्थित बिंदु A से छोटे वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचो। स्पर्श रेखाखंड की लंबाई मापकर लिखो। पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करके स्पर्श रेखाखंड की लंबाई ज्ञात करो।
Concept: स्पर्श रेखा - त्रिज्या प्रमेय का विलोम
वृत्त को जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंत:भाग में बिदु E पर प्रतिच्छेदित करती हैं। यदि AE = 4, EB = 10, CE = 8, तो ED का मान ज्ञात कीजिए?
Concept: जीवाओं का अंतःछेदन प्रमेय (Theorem of Internal Division of Chords)
यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो, तो उस वृत्त की सबसे बड़ी जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Concept: वृत्त
ऊपर दी गई आकृति में, ∠L = 35° तो
- m(चाप MN)
- m(चाप MLN)
ज्ञात कीजिए।
हल:
- ∠L = `1/2` m(चाप MN) ............(अंतर्लिखित कोण का प्रमेय)
∴ `square = 1/2` m(चाप MN)
∴ 2 × 35 = m(चाप MN)
∴ m(चाप MN) = `square` - m(चाप MLN) = `square` - m(चाप MN) ...........(चापों के मापों का योग गुणधर्म)
= 360° - 70°
∴ m(चाप MLN) = `square`
Concept: अंतर्लिखित कोण का प्रमेय
सिद्ध कीजिए कि, “एक की चाप में अंतर्लिखित कोण सर्वांगसम होते हैं।”
Concept: अंतर्लिखित कोण के प्रमेय का उपप्रमेय
ΔABC में, भुजा BC को एक वृत्त बाह्यभाग में स्पर्श करता है। उसी प्रकार भुजा AC और भुजा AB को आगे बढ़ाने पर यह वृत्त को बिन्दु N तथा बिन्दु M पर स्पर्श करता है, तो सिद्ध कीजिए: AM = `1/2`(ΔABC की परिमिति)
Concept: स्पर्शरेखाखंड का प्रमेय (Tangent Segment Theorem)
3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की सबसे बड़ी जीवा लंबाई = ?
Concept: जीवाओं का अंतःछेदन प्रमेय (Theorem of Internal Division of Chords)
5 सेमी तथा 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त परस्पर बाह्यस्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Concept: स्पर्श वृत्त प्रमेय (Theorem of Touching Circles)
ऊपर दी गयी आकृति में, ∠ABC यह चाप ABC में अंतर्लिखित कोण है।
यदि ∠ABC = 60%, तो m ∠AOC ज्ञात कीजिए।
हल:
∠ABC = `1/2`m (चाप AXC) ...... `square`
60° = `1/2` m (चाप AXC)
`square` = m (चाप AXC)
परंतु m ∠ AOC = m(चाप`square`) ......(केंद्रीय कोण का गुणधर्म)
∴ m ∠AOC = `square`
Concept: अंतर्लिखित कोण का प्रमेय
'O' केंद्र तथा 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त बनाइए।वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P से स्पर्श रेखाखंड PA तथा PB इस प्रकार बनाइये कि ∠APB = 70°
Concept: स्पर्श रेखा - त्रिज्या प्रमेय का विलोम
‘O’ केंद्र वाले वृत्त की रेख AB जीवा है। AOC वृत्त का व्यास है। AT वृत्त के बिंदु A पर बनी स्पर्शरेखा है।
इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए:
- दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये।
- ∠CAT तथा ∠ABC की माप ज्ञात करने के लिए संबंधित प्रमेय का कथन लिखिए।
- क्या ∠CAT तथा ∠ABC एकरूप हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।
Concept: वृत्त
दत्त: वृत्त का केंद्र P है। जीवा AB और जीवा CD परस्पर बिंदु E पर प्रतिच्छेदित करती हैं।
साध्य: AE × EB = CE × ED
रचना: रेख AC और रेख DB खींचिए।
खाली जगह भरकर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
उपपत्ति: ΔCAE और ΔBDE में,
∠AEC ≅ ∠DEB ......... `square`
`square` ≅ ∠BDE .....(एक ही चाप में अंतर्लिखित कोण)
∴ ΔCAE ~ ΔBDE ........ `square`
∴ `square/ ("DE") = ("CE")/square` ........ `square`
∴ AE × EB = CE × ED
Concept: जीवाओं का अंतःछेदन प्रमेय (Theorem of Internal Division of Chords)
ΔABC ~ ΔLMN , ΔABC में AB = 5.5 सेमी, BC = 6 सेमी, CA = 4.5 सेमी और `"BC"/"MN"` = `5/4` तो ΔABC तथा ΔLMN की रचना कीजिए।
Concept: समरूप त्रिभुजों की रचना
