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Question
योगफल की सीमा के रूप में `int_0^1 "e"^(2 - 3x)` dx का मान ज्ञात कीजिए।
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Solution
यहाँ a = 0, b = 1, f(x) = `"e"^(2 - 3x)`, h = `(1 - 0)/"n" = 1/"n"`
या nh = 1
`therefore int_0^1 "e"^(2 - 3x) "dx" = lim_("n"-> oo) 1/"n" ["f"("a") + "f"("a + h")] + "f"("a" + "2h") + ... + "f"("a" + "n" - 1 "h")`
`= lim_("n"-> oo) 1/"n" ["f"(0) + "f"("h") + "f"(2"h") + ... + "f"(bar("n - 1")" h")]`
`= lim_("n"-> oo) 1/"n" ["e"^2 + "e"^(2 - "3h") + "e"^(2 - "6h") + ... + "e"^(2 - 3("n" - 1)"h")]`
`= lim_("n"-> oo) 1/"n" "e"^2 [1 + "e"^(- 3"h") + "e"^(-6"h") + ... + "e"^(- ("n" - 1)"h")]`
`= "e"^2 lim_("n"-> oo) 1/"n" * (1[("e"^(-3"h"))^"n" - 1])/("e"^(- 3"h") - 1)`
`= "e"^2 lim_("n"-> oo) 1/"n" * ("e"^(- 3"nh") - 1)/("e"^(- 3"h") - 1)`
`= "e"^2 lim_("n"-> oo) "h" * ("e"^(-3) - 1)/("e"^(- 3"h") - 1) ....[because "nh" = 1]`
`= "e"^2("e"^(-3) - 1) xx lim_("h" -> 0) (-3"h")/("e"^(-3"h") - 1) xx (- 1/3)`
`= ("e"^(-1) xx "e"^2) xx 1 xx (- 1/3) [because lim_(x -> 0) x/("e"^x - 1) = 1]`
`= 1/3 ("e"^2 - 1/"e")`
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