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Question
निम्नलिखित प्रश्न में निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।
`int_0^pi (x tan x)/(sec x + tan x)`dx
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Solution
माना I = `int_0^pi (x tan x)/(sec x + tan x)`dx ...(1)
`int_0^pi ((pi - x) tan (pi - x))/(sec(pi - x) + tan(pi - x)) ...[because int_0^"a" "f"(x) "dx" = int_0^"a" "f"("a - x") "dx"]`
`= int_0^pi (- (pi - x) tan x)/(- (sec x + tan x))`dx
`therefore "I" = int_0^pi ((pi - x) tan x)/(sec x + tan x)`dx ...(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
2I = `int_0^pi (x tan x + (pi - x) tan x)/(sec x + tan x)`dx
`= int_0^pi (x tan x + pi tan x - x tan x)/((sec x + tan x))`dx
`= pi int_0^pi (tan x)/(sec x + tan x)`dx
`= pi int_0^pi ((sin x)/(cos x))/(1/(cos x) + (sin x)/(cos x))`dx
`= pi int_0^pi (sin x + 1 - 1)/(1 + sin x)`dx
`= pi int_0^pi (1 + sin x - 1)/(1 + sin x)`dx
`= pi int_0^pi 1 " dx" - pi int_0^pi "dx"/(1 + sin x)`
`= pi [x]_0^pi - pi int_0^pi (1 - sin x)/((1 + sin x)(1 - sin x))`dx
`= pi^2 - pi int_0^pi (1 - sin x)/(1 + sin^2 x)`dx
`= pi^2 - pi int_0^pi (1 - sin x)/cos^2 x`dx
`= pi^2 - pi int_0^pi (sec^2 x - sec x tan x)`dx
`= pi^2 - pi [tan x - sec x]_0^pi`
`= pi^2 - pi [(tan pi - tan 0) - (sec pi - sec 0)]`
`= pi^2 - pi [0 - (- 1 - 1)] = pi^2 - 2pi`
`therefore "I" = (pi^2 - 2pi)/2 = pi/2 (pi - 2)`
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