Advertisements
Advertisements
Question
वर्तुळाचे कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसतात, हे सिद्ध करा.
Advertisements
Solution
पक्ष: O केंद्र असलेले एक वर्तुळ.
बिंदू A, B व C हे वर्तुळावरील कोणतेही तीन बिंदू आहेत.
साध्य: बिंदू A, B व C हे एकरेषीय नाहीत.
सिद्धता:
OA = OB ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ बिंदू O हा रेख AB च्या A व B या अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर आहे.
∴ बिंदू O हा AB च्या लंबदुभाजकावर आहे.
त्याचप्रमाणे, आपण सिद्ध करू शकतो, की बिंदू O हा BC च्या लंबदुभाजकावर आहे. ......[लंबदुभाजकाचे प्रमेय]
∴ बिंदू O हा लंबदुभाजक AB व BC चा छेदनबिंदू आहे. (म्हणजेच, ΔABC चे परिकेंद्र). ....(i)
आता बिंदू A, B व C हे एकरेषीय आहेत असे मानू.
तर AB व BC चे लंबदुभाजक समांतर असतील. ......[एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या रेषा परस्परांना समांतर असतात.]
∴ हे लंबदुभाजक बिंदू O वर परस्परांना छेदणार नाहीत. हे आपल्या विधान (i) शी म्हणजेच 'बिंदू O हा लंबदुभाजक AB व BC चा छेदनबिंदू आहे' या विधानाशी विसंगत आहे
∴ 'बिंदू A, B व C हे एकरेषीय आहेत' हे आपण मानलेले विधान चुकीचे आहे.
∴ बिंदू A, B व C हे एकरेषीय नाहीत.
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा.
‘एक वर्तुळ एका समांतरभुज चौकोनाच्या सर्व बाजूंना स्पर्श करते, तर तो समांतरभुज चौकोन ______ असला पाहिजे’, या विधानातील रिकाम्या जागी योग्य शब्द लिहा.
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, त्रिज्या XA || त्रिज्या YB. खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.
रचना : रेख XZ आणि ______ काढले.
सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे ______ आहेत.
∴ ∠XZA ≅ ______ विरुद्ध कोन
∠XZA = ∠BZY = a मानू ______ (I)
आता, रेख XA ≅ रेख XZ ______(______)
∴ ∠XAZ = ______ = a ______ (समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय) (II)
तसेच रेख YB ≅ ______ ______(______)
∴ ∠BZY = ______ = a ______(______) (III)
∴ (I), (II) व (III) वरून,
∠XAZ = ______
∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ______(______)
आकृती मध्ये, केंद्र X व Y असणारी अंतर्स्पर्शी वर्तुळे बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. रेख BZ ही मोठ्या वर्तुळाची जीवा लहान वर्तुळाला बिंदू A मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा - रेख AX || रेख BY.
सोबतच्या आकृतीत रेख MN ही केंद्र O असलेेल्या वर्तुळातील जीवा आहे. MN = 25, जीवा MN वर बिंदू L असा आहे की ML = 9 आणि d(O,L) = 5 तर या वर्तुळाची त्रिज्या किती असेल?
एका बिंदूतून जाणारी किती वर्तुळे काढता येतील?
सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची रेख DE ही जीवा आहे. रेख CF ⊥ जीवा DE आणि DE = 16 सेमी, तर DF ची लांबी काढा.
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळ केंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3`, तर
- वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
- ∠K आणि ∠M
आकृतीमध्ये, जीवा AC आणि जीवा DE बिंदू B मध्ये छेदतात. जर ∠ABE = 100° आणि m(कंस AE) = 95°, तर m(कंस DC) काढा.
बिंदू A, B आणि C केंद्र असलेली तीन वर्तुळे परस्परांना बाहेरून स्पर्श करतात. जर AB = 36, BC = 32 आणि CA = 30 असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
एका वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळातील सर्वात मोठया जीवेची लांबी किती?
