Question

वर्तुळाचे कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसतात, हे सिद्ध करा.

Answer 1

पक्ष: O केंद्र असलेले एक वर्तुळ.

बिंदू A, B व C हे वर्तुळावरील कोणतेही तीन बिंदू आहेत.

साध्य: बिंदू A, B व C हे एकरेषीय नाहीत.

सिद्धता:  

OA = OB   ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ बिंदू O हा रेख AB च्या A व B या अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर आहे.

∴ बिंदू O हा AB च्या लंबदुभाजकावर आहे.

त्याचप्रमाणे, आपण सिद्ध करू शकतो, की बिंदू O हा BC च्या लंबदुभाजकावर आहे.  ......[लंबदुभाजकाचे प्रमेय] 

∴ बिंदू O हा लंबदुभाजक AB व BC चा छेदनबिंदू आहे. (म्हणजेच, ΔABC चे परिकेंद्र).  ....(i) 

आता बिंदू A, B व C हे एकरेषीय आहेत असे मानू.

तर AB व BC चे लंबदुभाजक समांतर असतील.  ......[एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या रेषा परस्परांना समांतर असतात.]

∴ हे लंबदुभाजक बिंदू O वर परस्परांना छेदणार नाहीत. हे आपल्या विधान (i) शी म्हणजेच 'बिंदू O हा लंबदुभाजक AB व BC चा छेदनबिंदू आहे' या विधानाशी विसंगत आहे

∴ 'बिंदू A, B व C हे एकरेषीय आहेत' हे आपण मानलेले विधान चुकीचे आहे.

∴ बिंदू A, B व C हे एकरेषीय नाहीत.