Question

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, त्रिज्या XA || त्रिज्या YB. खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.

 

रचना : रेख XZ आणि ______ काढले.

सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे ______ आहेत.

∴ ∠XZA ≅ ______ विरुद्ध कोन

∠XZA = ∠BZY = a मानू ______ (I)

आता, रेख XA ≅ रेख XZ    ______(______)

∴ ∠XAZ = ______ = a ______ (समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय) (II)

तसेच रेख YB ≅ ______ ______(______)

∴ ∠BZY = ______ = a ______(______) (III)

∴ (I), (II) व (III) वरून,

∠XAZ = ______

∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ______(______)  

Answer 1

पक्ष: बिंदू X आणि Y ही वर्तुळांची केंद्रे आहेत.

साध्य: त्रिज्या XA || त्रिज्या YB.

रचना : रेख XZ आणि रेख YZ काढल्या.  

सिद्धता : 

स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे एकरेषीय आहेत.

∴ ∠XZA ≅ ∠BZY ....[विरुद्ध कोन]

∠XZA = ∠BZY = a मानू  (I)

आता, रेख XA ≅ रेख XZ ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ∠XAZ = ∠XZA = a (II) [समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]

तसेच रेख YB ≅ रेख YZ .........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ∠BZY = ∠ZBY = a (III) [समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]

∴ ∠XAZ = ∠ZBY .....[(I), (II) व (III)] वरून,

∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ......[व्युत्क्रम कोन कसोटी]