Question

सिद्ध कीजिए कि `sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 1

मान लेते हैं कि `sqrt2` परिमेय है।

फिर, इसका सबसे सरल रूप `p/q`

जहाँ p और q ऐसे पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, और q ≠ 0 है।

अब, `sqrt2 = p/q`

`sqrt2 = p/q`

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें मिलता है,

`2 = (p^2)/(q^2)`

2q² = p²   ...(i)

⇒ 2, p² को विभाजित करता है

⇒ 2, p को विभाजित करता है   ...(∵ 2 एक अभाज्य संख्या है और p² को विभाजित करता है ⇒ 2, p को विभाजित करता है)

मान लीजिए p = 2r, जहाँ r कोई पूर्णांक है।

समीकरण (i) में p = 2r रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

2q² = 4r²

⇒ q² = 2r²

⇒ 2, p² को विभाजित करता है   ...(∵ 2, 2r² को विभाजित करता है)

⇒ 2, q को विभाजित करता है   ...(∵ 2 एक अभाज्य संख्या है और q² को विभाजित करता है ⇒ 2, q को विभाजित करता है)

इस तरह, 2, p और q का कॉमन फ़ैक्टर है।

लेकिन यह इस बात को गलत साबित करता है कि p और q का 1 के अलावा कोई कॉमन फ़ैक्टर नहीं है।

इस तरह, `sqrt2` को रैशनल मानने से विरोधाभास पैदा होता है।

इसलिए, `sqrt2` अपरिमेय संख्या है।