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Question
प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
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Solution
वह वृत्तों के कुल का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करें
(x – a)2 + (y – a)2 = a2 …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2(x - a) + 2(y - a)`"dy"/"dx" = 0`
या x - a + (y - a)p = 0 जबकि p = `"dy"/"dx"`
⇒ x + py - a(1 + p) = 0
`therefore "a" = (x + "py")/(1 + "p")`
∴ `x - "a" = x - (x + "py")/(1 + "p")`
∴ `= (x + "p"x - x - "py")/(1 + "p")`
`= ((x - "y")"p")/(1 + "p")`
`"y - a" = "y" - (x + "py")/(1 + "p")`
`= ("y" + "py" - x - "py")/(1 + "p")`
`= ("y - x")/(1 + "p")`
a, x - a, y - a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`(("x - y")^2 "p"^2)/(1 + "p")^2 + ("y - x")^2/(1 + "p")^2 = (x + "py")^2/(1 + "p")^2`
`=> (x - "y")^2 "p"^2 + (x - "y")^2 = (x + "py")^2`
या (x - y)2 (1 + p2) = (x + py)2
∴ अभीष्ट अवकल समीकरण,
`(x - "y")^2 [1 + ("dy"/"dx")^2] = [x + "y""dy"/"dx"]^2`
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