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Question
परिभाषा का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि फलन f: A→ B व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि f एकैकी तथा आच्छादक दोनो है।
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Solution
मान लीजिए f: A → B बहुएक फलन है।
माना f(a) = p और f(b) = p
तो, प्रतिलोम फलन के लिए हमारे पास f-1(p) = a और f-1(p) = b होगा।
इस प्रकार, इस मामले में व्युत्क्रम फलन परिभाषित नहीं है क्योंकि हमारे पास एक पूर्व-छवि 'p' के लिए दो छवियां 'a और b' हैं।
लेकिन f के व्युत्क्रमणीय होने के लिए यह एकैकी होना चाहिए।
अब, मान लीजिए f: A → B आच्छादक फलन नहीं है।
माना B = {p, q, r} और f का परिसर {p, q} है।
यहाँ प्रतिबिम्ब 'r' का कोई पूर्व प्रतिबिम्ब नहीं है, जिसका समुच्चय A में कोई प्रतिबिम्ब नहीं होगा।
और f के व्युत्क्रमणीय होने के लिए यह आच्छादक होना चाहिए।
इस प्रकार, 'f' व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि 'f' एकैकी और आच्छादक दोनों है।
एक फलन f = X → Y व्युत्क्रमणीय है यदि f एक विशेषण फलन है।
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