Question

मूल बिंदु से बिंदुओं (cos θ, sin θ) और (cos ϕ, sin ϕ) को मिलाने वाली रेखा की लांबिक दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

बिंदुओं (cosθ, sinθ) और (cos∅, sin∅) को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार दिया गया है

= `y - sin θ = (sin∅ - sinθ)/(cos∅ - cosθ) (x - cosθ)`

= y(cos∅ - cosθ)-sinθ(cos∅ - cosθ) = x(sin∅ - sinθ)-cosθ (sin∅ - sinθ)

= x(sinθ - sin∅)+y(cos∅ - cosθ) + cosθ sin∅ - cosθ sinθ - sinθ cos∅ + sinθ cosθ  = 0

= x(sinθ - sin∅)+y(cos∅ - cosθ) + sin (∅ - θ) = 0

= Ax + By + C = 0, जहाँ A = sinθ - sin∅, B = cos∅ - cosθ, and C = sin (∅ - θ)

यह ज्ञात है कि एक बिंदु (x₁, y₁) से रेखा Ax + By + C = 0 की लांबिक दूरी (d) निम्न द्वारा दी जाती है

`d = |Ax_1 + By_1 + C|/sqrt(A^2 + B^2)`

इसलिए, बिंदु (x₁, y₁) से दी गई रेखा की लांबिक दूरी (d) = (0, 0) है

`d = |(sinθ - sin∅)(0) + (cos∅ - cosθ)(0) + sin(∅ - θ)|/sqrt((sinθ - sin∅)^2 + (cos∅ - cosθ)^2`

= `|sin (∅ - θ)|/sqrt (sin^2θ + sin^2∅ - 2sinθ sin∅ + cos^2∅ + cos^2θ - 2cos∅ cosθ)`

=  `|sin (∅ - θ)|/sqrt ((sin^2θ + cos^2θ) - (sin^2∅ cos^2∅) -2(sinθ - sin∅ + cosθ cos∅)`

= `|sin (∅ - θ)|/sqrt(1 + 1 - 2(cos (∅ - θ)))`

= `|sin (∅ - θ)|/sqrt(2(1 - cos (∅ - θ))`

= `|sin (∅ - θ)|/sqrt(2(2sin^2 ((∅ - θ)/2))`

= `|sin (∅ - θ)|/(|2sin((∅ - θ)/2)|)`