Advertisements
Advertisements
Question
किसी समांतर श्रेणी का pवाँ पद `1/"q"` तथा qवाँ पद `1/"p"`, हो तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग `1/2 ("pq" + 1)` होगा जहाँ p ≠ q
Advertisements
Solution
मान लीजिए प्रथम पद = a
और सार्व अंतर = d
∴ p वाँ पद = a + (p − 1)d = `1/"q"`..............(i)
q वाँ पद = a + (q − 1)d = `1/"p"` ................(ii)
समीकरण (ii) को (i) में से घटाने पर,
(p − 1)d = `1/"q" - 1/"p"`
= `("p" - "q")/"pq"`
⇒ d = `1/"pq"`
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
∴ a + (p − 1) `1/"pq" = 1/"q"`
a = `1/"q" - ("p"-1)/"pq"`
= `1/"q" - 1/"q" + 1/"pq"`
= `1/"pq"`
∴ pq पदों का योग = `"n"/2[2"a" + ("n" - 1)"d"]`
= `"pq"/2 [2 xx 1/"pq" + ("pq" - 1)1/"pq"]`
= `1/2[2 + "pq" - 1]`
= `1/2["pq" + 1]`
RELATED QUESTIONS
1 से 2001 तक के विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों।
किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पाँच पदों का योगफल, अगले पाँच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि 20वाँ पद −112 है।
उस समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका k वाँ पद 5k + 1 है।
दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात 5n + 4 : 9n + 6 हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
5 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम समांतर श्रेणी बन जाए।
एक व्यक्ति ॠण का भुगतान 100 रुपये की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रुपये प्रति माह बढ़ता है तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी?
किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात m2 : n2 है तो दर्शाइए कि m वें तथा n वें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) है।
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो तो प्रथम (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, तथा c, हो तो सिद्ध कीजिए कि: `"a"/"p"("q" - "r") + "b"/"q"("r" - "p") + "c"/"r"("p" - "q") = 0`
यदि `("a"^"n" + "b"^"n")/("a"^("n"- 1) + "b"^("n" - 1))`, a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो तो n का मान ज्ञात कीजिए।
m संख्याओं को 1 तथा 31 के रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और 7वीं एवं (m – 1) वीं संख्याओं का अनुपात 5 : 9 है। तो m का मान ज्ञात कीजिए।
एक बहुभुज के दो क्रमिक अंत: कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेणी के (m + n)वें तथा (m – n)वें पदों का योग mवें पद का दुगुना है।
यदि किसी समांतर श्रेणी की तीन संख्याओं का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
200 और 400 के मध्य आने वाली उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाजित हों।
1 से 100 तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाजित हों।
दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो।
एक समांतर श्रेणी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
किसी समांतर श्रेणी का pवाँ, qवाँ, rवाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए
(q – r)a + (r – p)b + (p – q) c = 0
एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है। वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है, तथा उनसे यह भी करने को कहता है कि प्रत्येक पत्र प्राप्त करने वाला व्यक्ति इस श्रृंखला को जारी रखे। यह कल्पना करके कि श्रंखला न टूटे तो 8वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र का डाक खर्च 50 पैसे है।
एक निर्माता घोषित करता है कि उसकी मशीन जिसका मूल्य 15625 रूपये है, हर वर्ष 20% की दर से उसका अवमूल्यन होता है। 5 वर्ष बाद मशीन का अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।
किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए 150 कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन 4 कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन 4 और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य। अब कार्य पूर्ण करने में 8 दिन अधिक लगते हैं, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूरा किया गया।
