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Question
दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात 5n + 4 : 9n + 6 हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
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Solution
मान लीजिए समातर श्रेणियों के प्रथम पद a1, a2, तथा सार्वअंतर d1 और d2 हैं। यदि Sn और `"S'"_"n"` उनके संगत योगफल हैं। T18 और `"T'"_18` उनके संगत 18 वें पद हैं।
Sn = `"n"/2 [2"a"_1 + ("n" - 1)"d"_1]`
`"S'"_"n" = "n"/2 [2"a"_2 + ("n" - 1)"d"_2]`
∴ `"S"_"n"/("S'"_"n") = ("n"/2 [2"a"_1 + ("n" - 1)"d"_1])/("n"/2 [2"a"_2 + ("n" - 1)"d"_2])`
`(2"a"_1 + ("n" - 1)"d"_1)/ (2"a"_2 + ("n" - 1)"d"_2)`
= `(5"n" +4)/(9"n" + 6)` .................(i)
हमें ज्ञात करना है
`"T"_18/("T"'_18) = ("a"_1 + (18 - 1)"d"_1)/ ("a"_2 + (18 - 1)"d"_2)`
अंश और हर दोनों को 2 से गुणा करने पर
`"T"_18/("T'"_18) = (2"a"_1 + 2(18 - 1)"d"_1)/ (2"a"_2 + 2(18 - 1)"d"_2)`
= `(2"a"_1 + 34"d"_1)/(2"a"_2 + 34"d"_2)` ................(ii)
समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने पर
n − 1 = 34 या n = 35
समीकरण (ii) में n = 35 रखने पर
`"T"_18/("T'"_18) = (2"a"_1 + 34"d"_1)/(2"a"_2 + 34"d"_2)`
= `(5 xx 35 + 4)/(9 xx 35 + 6)`
= `179/321`
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