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Question
किसी मीनार के आधार से s और t की दूरियों पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार की चोटी के उन्नयन कोण परस्पर पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई `sqrt(st)` है।
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Solution
माना मीनार की ऊँचाई h है।
और ∠ABC = θ
दिया गया है कि, BC = s, PC = t
और दोनों स्थितियों पर उन्नयन कोण पूरक हैं।
अर्थात्, ∠APC = 90° – θ ...[यदि दो कोण एक दूसरे के पूरक हैं, तो दोनों कोणों का योग 90° के बराबर होता है।]
अब ΔABC में,
tan θ = `"AC"/"BC" = "h"/"s"` ...(i)
और ΔAPC में,
tan(90° – θ) = `"AC"/"PC"` ...[∵ tan(90° – θ) = cot θ]
⇒ cot θ = `"h"/"t"`
⇒ `1/tanθ = "h"/"t"` `[because cot θ = 1/(tan θ)]` ...(ii)
समीकरणों (i) और (ii) को गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है।
`tan θ * 1/tanθ = "h"/"s" * "h"/"t"`
⇒ `"h"^2/("st")` = 1
⇒ h2 = st
⇒ h = `sqrt("st")`
तो, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई `sqrt("st")` है।
अत: सिद्ध हुआ।
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