Question

If tan α = n tan β, sin α = m sin β, prove that cos² α  = `(m^2 - 1)/(n^2 - 1)`.

Answer 1

We have,
tan α = n tan β

⇒ `tan β = tan α/n`

⇒ `cot β  = n/tan α`

sin α = m sin β

⇒  `sin β = sin α /m`

⇒  `cosec β =  m/sin α`

Since, cosec² β - cot² β = 1

⇒ `m^2/sin^2 α - n^2/tan^2 α = 1`

⇒ `m^2/sin^2 α - (n^2cos^2α )/sin^2 α = 1`

⇒ m² - n²cos² α  = sin² α

⇒ m² - n²cos² α = 1 - cos² α

⇒ m² -  1 = (n² - 1)cos² α

⇒ cos² α = `(m^2 - 1)/(n^2 - 1)`.

Hence proved.