Question

एक समकोण त्रिभुज ABC, जिसमें ∠B = 90° है, AB को व्यास मान कर एक वृत्त खींचा गया है, जो कर्ण AC को P पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि P पर वृत्त की स्पर्श रेखा BC को समद्विभाजित करती है। 

Answer 1

प्रश्न के अनुसार,

समकोण ΔABC में ∠B = 90° है, AB को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा गया है जो कर्ण AC को P पर काटता है।

साथ ही PQ, P पर स्पर्श रेखा है।

सिद्ध करना है: PQ, BC को समद्विभाजित करता है अर्थात BQ = QC

उपपत्ति: ∠APB = 90°  ...[अर्द्धवृत्त में कोण समकोण होता है।]

∠BPC = 90°  ...[रैखिक युग्म]

∠3 + ∠4 = 90° ...[1]

अब, ∠ABC = 90°

तो ΔABC में

∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°

90° + ∠1 + ∠5 = 180°

∠1 + ∠5 = 90° ...[2]

अब, ∠1 = ∠3  ...[स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण जीवा द्वारा एकांतर खंड में बनाए गए कोण के बराबर होता है।]

इसका उपयोग [2] में हमने किया है।

∠3 + ∠5 = 90°  ...[3]

[1] और [3] से हमारे पास है।

∠3 + ∠4 = ∠3 + ∠5

∠4 = ∠5

QC = PQ  ...[समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]

लेकिन साथ ही, PQ = BQ   ...[बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।]

तो, BQ = QC

अर्थात PQ, BC को समद्विभाजित करता है।