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Question
धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 सेमी है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 सेमी और 20 सेमी हैं। 20 रु प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रु प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से ज्ञात कीजिए। [उपयोग π = 3.14]
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Solution
कंटेनर के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (r1) = 20 सेमी
कंटेनर के निचले सिरे की त्रिज्या (r2) = 8 सेमी
कंटेनर की ऊंचाई (h) = 16 सेमी
छिन्नक की तिरछी ऊँचाई (l) = `sqrt((r_1-r_2)^2+h^2)`
`=sqrt((20-8)^2+(16)^2)`
`=sqrt((12)^2+(16)^2) = sqrt(144+256)`
= 20 सेमी
कंटेनर की क्षमता = छिन्नक का आयतन
`=1/3pih(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)`
`=1/3xx3.14xx16xx[(20)^2+(8)^2+(20)(8)]`
`=1/3xx3.14xx16(400+64+160)`
`=1/3xx3.14xx16xx624`
= 10449.92 सेमी3
= 10.45 लीटर।
1 लीटर दूध का मूल्य = रु 20
10.45 लीटर दूध का मूल्य = 10.45 × 20
= रु 209
कंटेनर बनाने के लिए प्रयुक्त धातु शीट का क्षेत्रफल
`=pi(r_1+r_2)l + pir_2^2`
= (20 + 8) 20 + (8)2
= 560 + 64 = 624 सेमी2
100 सेमी2 धातु की शीट का मूल्य = रु 8
624 π सेमी2 धातु शीट की लागत = `(624 xx 3.14 xx 8)/100`
= 156.75
इसलिए, उस दूध की कीमत है जो कंटेनर को पूरी तरह से भर सकता है
209 रुपये और कंटेनर बनाने में प्रयुक्त धातु शीट की कीमत 156.75 रुपये है।
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एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकार की है। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 सेमी है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 सेमी है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 सेमी है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[उपयोग π = 22/7]
शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्र फल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र फल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए,
एक गिलास का आकार प्रायः निम्न रूप का होता है-
एक शंकु को उसके आधार के समांतर एक तल की सहायता से काटा जाता है और फिर तल के एक ओर बने शंकु को हटा दिया जाता है। तल के दूसरी ओर बचा हुआ नया भाग कहलाता है एक ______।
क्रमशः आंतरिक और बाहरी व्यास 4 cm और 8 cm वाले एक धातु के गोलाकार खोल को पिघलाकर आधार व्यास 8 cm के एक शंकु के आकार में ढाला जाता है। इस शंकु की ऊँचाई ______ है।
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शंकु के एक छिन्नक का आयतन `1/3 pih[r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2]` होता है, जहाँ h छिन्नक की ऊर्घ्वाधर ऊँचाई है और r1, r2 सिरों की त्रिज्याएँ हैं।
शंकु के एक छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πl (r1 + r2) होता है, जहाँ `l = sqrt(h^2 + (r_1 + r _2)^2)` है, r1 और r2 छिन्नक के दोनों सिरों की त्रिज्याएँ हैं तथा h ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
धातु की एक खुली बाल्टी इस आकार जैसी है कि उसी धातु की चादर से बने बेलनाकार (खोखला) आधार पर एक शंकु का छिन्नक रखा हुआ है। इसके लिए प्रयुक्त धातु की चादर का पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर है :
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
कोई बाल्टी एक शंकु के छिन्नक के आकार की है और इसमें 28.490 लीटर पानी आ सकता है। इसके ऊपरी और निचले सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 28 cm और 21 cm हैं। इस बाल्टी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
