Question

बिंदु A(2, 9), B(a, 5) और C(5, 5) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, जिसका∠B समकोण है। a के मान ज्ञात कीजिए और फिर ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया गया है कि, बिंदु A(2, 9), B(a, 5) और C(5, 5) B पर समकोण ΔABC के शीर्ष हैं।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

AC² = AB² + BC² 

अब, दूरी सूत्र द्वारा,

AB = `sqrt((a - 2)^2 + (5 - 9)^2)`  ...(i) `[∵ "दो बिंदुओं के बीच की दूरी"  (x_1, y_1)  "और"  (x_2, y_2) = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)]`

= `sqrt(a^2 + 4 - 4a + 16)`

= `sqrt(a^2 - 4a + 20)`

BC = `sqrt((5 - a)^2 + (5 - 5)^2`

= `sqrt((5 - a)^2 + 0)`

= 5 – a

और AC = `sqrt((2 - 5)^2 + (9 - 5)^2`

= `sqrt((-3)^2 + (4)^2`

= `sqrt(9 + 16)`

= `sqrt(25)`

= 5

AB, BC और AC का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है। 

(5)² = `(sqrt(a^2 - 4a + 20))^2 + (5 - a)^2`

⇒ 25 = a² – 4a + 20 + 25 + a² – 10a

⇒ 2a² – 14a + 20 = 0

⇒ a² – 7a + 10 = 0

⇒ a² – 2a – 5a + 10 = 0  ...[गुणनखंडन विधि द्वारा]

⇒ a(a – 2) – 5(a – 2) = 0

⇒ (a – 2)(a – 5) = 0

∴ a = 2, 5

यहाँ, a ≠ 5, चूँकि a = 5 पर, BC की लंबाई = 0 है।

यह संभव नहीं है क्योंकि भुजाएँ AB, BC और CA एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।

तो, a = 2

अब, A, B और C का निर्देशांक क्रमशः (2, 9), (2, 5) और (5, 5) हो जाता है।

∵ ΔABC का क्षेत्रफल = `1/2[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]`

∴ Δ = `1/2[2(5 - 5) + 2(5 - 9) + 5(9 - 5)]`

= `1/2[2 xx 0 + 2(-4) + 5(4)]`

= `1/2(0 - 8 + 20)`

= `1/2 xx 12`

= 6

अतः, △ABC का अभीष्ट क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है।