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Question
अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = `x^3 + 1/x^3, x ne 0` से प्रदत्त फलन (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
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Solution
हमारे पास है `f (x) = x^3 + 1/x^3`
x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है।
`f' (x) = 3x^2 - 3/x^4`
(i) f(x) के x का वर्धमान फलन होने के लिए,
`f' (x) > 0`
⇒ x6 - 1 > 0
⇒ (x3 - 1) (x3 + 1) > 0
अर्थात x3 - 1 > 0 या x3 + 1 > 0
⇒ x3 > 1 या x3 > -1
⇒ x > 1 और x > -1
⇒ x > 1
⇒ x ∈ (1, ∞)
or x3 - 1 < 0 और x3 + 1 < 0
x3 < 1 और x3 < -1
⇒ x < 1 और x < -1
⇒ x < -1
⇒ x ∈ (-∞, -1)
अतः, f(x) (-∞, -1) ∪ (1,∞) में वर्धमान रहा है।
(ii) f(x) को x का ह्रासमान हुआ फलन बनाने के लिए,
f' (x) < 0
⇒ `3 (x^2 - 1/x^4) < 0`
⇒ `x^2 - 1/x^4 < 0`
⇒ x6 - 1 < 0
⇒ (x3 - 1) (x3 + 1) < 0
अर्थात, x3 - 1 > 0 और x3 + 1 < 0
⇒ x3 > 1 और x3 < -1
⇒ x > 1 और x < -1
जो संभव नहीं है।
or x3 - 1 < 0 और x3 + 1 > 0
⇒ x3 < 1 और x3 > -1
⇒ x < 1 और x > -1
⇒ -1 < x < 1
अतः, f(x) (-1,1) में ह्रासमान रहा है।
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