Advertisements
Advertisements
Question
ΔABC मध्ये ∠BAC = 90°, रेख BL व रेख CM या ΔABC च्या मध्यगा आहेत, तर सिद्ध करा : 4(BL2 + CM2 ) = 5BC2.
Advertisements
Solution
पक्ष: ∠BAC = 90°
रेख BL व रेख CM या मध्यगा आहेत.
साध्य: 4(BL2 + CM2 ) = 5BC2.
सिद्धता:
ΔBAL मध्ये, ∠BAL = 90° ....[पक्ष]
∴ BL2 = AB2 + AL2 ...(i) [पायथागोरसचे प्रमेय]
ΔCAM मध्ये, ∠CAM = 90° ...[पक्ष]
∴ CM2 = AC2 + AM2 ...(ii) [पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ BL2 + CM2 = AB2 + AC2 + AL2 + AM2 ...(iii) [(i) व (ii) ची बेरीज करून]
आता, AL = `1/2` AC व AM = `1/2` AB ...(iv) [रेख BL व रेख CM या मध्यगा आहेत.]
∴ BL2 + CM2
= AB2 + AC2 + `(1/2 "AC")^2 + (1/2 "AB")^2` ....[(iii) व (iv) वरून]
= AB2 + AC2 + `"AC"^2/4 + "AB"^2/4`
= AB2 + `"AB"^2/4 + "AC"^2 + "AC"^2/4`
= `(5"AB"^2)/4 + (5"AC"^2)/4`
∴ BL2 + CM2 = `5/4` (AB2 + AC2)
∴ 4(BL2 + CM2) = 5(AB2 + AC2) ...(v)
ΔBAC मध्ये, ∠BAC = 90° ....[पक्ष]
∴ BC2 = AB2 + AC2 ....(vi) [पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 4(BL2 + CM2) = 5BC2 ..............[(v) व (vi) वरून]
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
आकृती मध्ये ∠DFE = 90°, रेख FG ⊥ रेख ED. जर GD = 8, FG = 12, तर (1) EG (2) FD आणि (3) EF काढा.
एका आयताची लांबी 35 सेमी व रुंदी 12 सेमी आहे तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी काढा.
रस्त्याच्या दुतर्फा असलेल्या इमारतीच्या भिंती एकमेकींना समांतर आहेत. 5.8 मी लांबीच्या शिडीचे एक टोक रस्त्यावर ठेवले असता तिचे वरचे टोक पहिल्या इमारतीच्या 4 मीटर उंच असलेल्या खिडकीपर्यंत टेकते. त्याच ठिकाणी शिडी ठेवून रस्त्याच्या दुसऱ्या बाजूस वळविल्यास तिचे वरचे टोक दुसऱ्या इमारतीच्या 4.2 मीटर उंच असलेल्या खिडकीपर्यंत येते, तर रस्त्याची रुंदी काढा.
ΔABC मध्ये रेख AD ⊥ रेख BC आणि DB = 3CD, तर सिद्ध करा : 2AB2 = 2AC2 + BC2
एका काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्णाची लांबी 25 सेमी व उंची 7 सेमी असेल, तर त्याच्या पायाची लांबी काढा.
काटकोन त्रिकोणात काटकोन करणाऱ्या बाजू 9 सेमी व 12 सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
कृती: ∆PQR मध्ये, ∠PQR = 90°
पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
PQ2 + `square` = PR2 .........…(i)
PR2 = 92 + 122
PR2 = `square + 144`
∴ PR2 = `square`
∴ PR = 15
त्रिकोणाचा कर्ण = `square`
एका आयताचे क्षेत्रफळ 192 चौसेमी असून त्याची लांबी 16 सेमी आहे, तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
कृती: सोबतच्या आकृतीत, `square`LMNT हा आयत आहे.
आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
∴ आयताचे क्षेत्रफळ = `square` × रुंदी
रुंदी = 12 सेमी
∠TLM = 90° [आयताचा प्रत्येक कोन काटकोन असतो.]
∆TLM मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
TL2 + `square` = TM2
TM2 = `square` + 122
TM2 = `square` + 144
TM = 20
वरील आकृतीत `square`ABCD हा आयत आहे. जर AB = 5, AC = 13, तर बाजू BC ची लांबी काढण्यासाठी खालील कृती पर्ण करा.
कृती: ΔABC हा `square` त्रिकोण आहे.
∴ पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
AB2 + BC2 = AC2
∴ 25 + BC2 = `square`
∴ BC2 = `square`
∴ BC = `square`
3 सेमी व 5 सेमी त्रिज्या आणि केंद्र O असलेली दोन एककेंद्री वर्तुळे काढा. मोठया वर्तुळावर कोणताही एक A बिंदू घ्या. बिंदू A मधून लहान वर्तुळाला स्पर्शिका काढा. त्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी मोजा व लिहा. पायथागोरसच्या प्रमेयाचा उपयोग करून स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.
एका चौरसाचा कर्ण `10sqrt2` सेमी असतील तर त्याच्या बाजूची लांबी काढा.
