Advertisements
Advertisements
प्रश्न
ΔABC मध्ये ∠BAC = 90°, रेख BL व रेख CM या ΔABC च्या मध्यगा आहेत, तर सिद्ध करा : 4(BL2 + CM2 ) = 5BC2.
Advertisements
उत्तर
पक्ष: ∠BAC = 90°
रेख BL व रेख CM या मध्यगा आहेत.
साध्य: 4(BL2 + CM2 ) = 5BC2.
सिद्धता:
ΔBAL मध्ये, ∠BAL = 90° ....[पक्ष]
∴ BL2 = AB2 + AL2 ...(i) [पायथागोरसचे प्रमेय]
ΔCAM मध्ये, ∠CAM = 90° ...[पक्ष]
∴ CM2 = AC2 + AM2 ...(ii) [पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ BL2 + CM2 = AB2 + AC2 + AL2 + AM2 ...(iii) [(i) व (ii) ची बेरीज करून]
आता, AL = `1/2` AC व AM = `1/2` AB ...(iv) [रेख BL व रेख CM या मध्यगा आहेत.]
∴ BL2 + CM2
= AB2 + AC2 + `(1/2 "AC")^2 + (1/2 "AB")^2` ....[(iii) व (iv) वरून]
= AB2 + AC2 + `"AC"^2/4 + "AB"^2/4`
= AB2 + `"AB"^2/4 + "AC"^2 + "AC"^2/4`
= `(5"AB"^2)/4 + (5"AC"^2)/4`
∴ BL2 + CM2 = `5/4` (AB2 + AC2)
∴ 4(BL2 + CM2) = 5(AB2 + AC2) ...(v)
ΔBAC मध्ये, ∠BAC = 90° ....[पक्ष]
∴ BC2 = AB2 + AC2 ....(vi) [पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 4(BL2 + CM2) = 5BC2 ..............[(v) व (vi) वरून]
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
आकृती मध्ये ∠DFE = 90°, रेख FG ⊥ रेख ED. जर GD = 8, FG = 12, तर (1) EG (2) FD आणि (3) EF काढा.
एका आयताची लांबी 35 सेमी व रुंदी 12 सेमी आहे तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी काढा.
आयताच्या बाजू 11 सेमी व 60 सेमी असतील, तर त्याच्या कर्णाची लांबी काढा.
प्रणाली आणि प्रसाद एकाच ठिकाणावरून पूर्व आणि उत्तर दिशेला सारख्या वेगाने निघाले. दोन तासांनंतर त्यांच्यामधील अंतर `15sqrt2` किमी असेल तर त्यांचा ताशी वेग काढा.
पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी 4 पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक उत्तराचा योग्य पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा.
एका चौरसाच्या कर्णाची लांबी `sqrt2` सेमी असेल, तर त्या चौरसाच्या प्रत्येक बाजूची लांबी किती?
पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी 4 पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक उत्तराचा योग्य पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा.
एका समभुज चौकोनाच्या कर्णाची लांबी अनुक्रमे 60 व 80 असेल, तर त्या समभुज चौकोनाच्या बाजूची लांबी किती?
एका आयताच्या बाजू अनुक्रमे 35 मीटर आणि 12 मीटर असल्यास त्याचा कर्ण किती?
सोबतच्या आकृतीत, ∆ABC मध्ये, AD ⊥ BC, तर AB2 + CD2 = BD2 + AC2 हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
कृती: पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, काटकोन त्रिकोण ∆ADC मध्ये,
AC2 = AD2 + `square^2`
∴ AD2 = AC2 – CD2 …...........(i)
तसेच, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार, काटकोन त्रिकोण ∆ABD मध्ये,
AB2 = `square^2` + BD2
∴ AD2 = AB2 – BD2 …...… (ii)
∴ `square^2 - "BD"^2 = "AC"^2 - square^2` .....…….. (i) व (ii) वरून
∴ AB2 + CD2 = AC2 + BD2
वरील आकृतीत `square`ABCD हा आयत आहे. जर AB = 5, AC = 13, तर बाजू BC ची लांबी काढण्यासाठी खालील कृती पर्ण करा.
कृती: ΔABC हा `square` त्रिकोण आहे.
∴ पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
AB2 + BC2 = AC2
∴ 25 + BC2 = `square`
∴ BC2 = `square`
∴ BC = `square`
3 सेमी व 5 सेमी त्रिज्या आणि केंद्र O असलेली दोन एककेंद्री वर्तुळे काढा. मोठया वर्तुळावर कोणताही एक A बिंदू घ्या. बिंदू A मधून लहान वर्तुळाला स्पर्शिका काढा. त्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी मोजा व लिहा. पायथागोरसच्या प्रमेयाचा उपयोग करून स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.
