Question

आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाचा रेख AB हा व्यास आहे. वर्तुळाची स्पर्शिका PQ वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ. तर सिद्ध करा - रेख CP ≅ रेख CQ. 

 

Answer 1

पक्ष: C हे वर्तुळकेंद्र आहे.

रेख AB हा वर्तुळाचा व्यास आहे.

रेषा PQ ही स्पर्शिका आहे, रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ

साध्य: रेख CP ≅ रेख CQ

रचना: रेख CT, रेख CP व रेख CQ काढा.

सिद्धता: 

रेषा PQ ही T बिंदूत स्पर्शिका आहे. ..........[पक्ष]

∴ रेख CT ⊥ रेषा PQ .....(i) [स्पर्शिका -त्रिज्या प्रमेय]

तसेच, रेख AP ⊥ रेषा PQ,

रेख BQ ⊥ रेषा PQ  ..........[पक्ष]

∴ रेख AP || रेख CT || रेख BQ ....[एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या रेषा परस्परांना समांतर असतात.]

∴ `"AC"/"CB" = "PT"/"TQ"` ......[तीन समांतर रेषा व त्यांच्या छेदिका यांचा गुणधर्म]

परंतु, AC = CB ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ `"AC"/"AC" = "PT"/"TQ"` 

∴ `"PT"/"TQ" = 1`

∴ PT = TQ ..........(ii)

आता ΔCTP व ΔCTQ मध्ये,

रेख PT ≅ रेख QT ....[(ii) वरून]

∠CTP ≅ ∠CTQ  .....[(i) वरून, प्रत्येक कोनाचे माप 90° आहे.] 

रेख CT ≅ रेख CT ....[सामाईक बाजू]

∴ ΔCTP ≅ ΔCTQ  ......[एकरूपतेची बाकोबा कसोटी]

∴ रेख CP ≅ रेख CQ ......[एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]