Advertisements
Advertisements
प्रश्न
आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाचा रेख AB हा व्यास आहे. वर्तुळाची स्पर्शिका PQ वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ. तर सिद्ध करा - रेख CP ≅ रेख CQ.
Advertisements
उत्तर
पक्ष: C हे वर्तुळकेंद्र आहे.
रेख AB हा वर्तुळाचा व्यास आहे.
रेषा PQ ही स्पर्शिका आहे, रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ
साध्य: रेख CP ≅ रेख CQ
रचना: रेख CT, रेख CP व रेख CQ काढा.
सिद्धता:
रेषा PQ ही T बिंदूत स्पर्शिका आहे. ..........[पक्ष]
∴ रेख CT ⊥ रेषा PQ .....(i) [स्पर्शिका -त्रिज्या प्रमेय]
तसेच, रेख AP ⊥ रेषा PQ,
रेख BQ ⊥ रेषा PQ ..........[पक्ष]
∴ रेख AP || रेख CT || रेख BQ ....[एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या रेषा परस्परांना समांतर असतात.]
∴ `"AC"/"CB" = "PT"/"TQ"` ......[तीन समांतर रेषा व त्यांच्या छेदिका यांचा गुणधर्म]
परंतु, AC = CB ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ `"AC"/"AC" = "PT"/"TQ"`
∴ `"PT"/"TQ" = 1`
∴ PT = TQ ..........(ii)
आता ΔCTP व ΔCTQ मध्ये,
रेख PT ≅ रेख QT ....[(ii) वरून]
∠CTP ≅ ∠CTQ .....[(i) वरून, प्रत्येक कोनाचे माप 90° आहे.]
रेख CT ≅ रेख CT ....[सामाईक बाजू]
∴ ΔCTP ≅ ΔCTQ ......[एकरूपतेची बाकोबा कसोटी]
∴ रेख CP ≅ रेख CQ ......[एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
आकृती मध्ये, केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू R मधून जाणारी रेषा त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर -
(1) रेख AP || रेख BQ हे सिद्ध करा.
(2) ΔAPR ~ ΔRQB हे सिद्ध करा.
(3) जर ∠PAR चे माप 35° असेल, तर ∠RQB चे माप ठरवा.
आकृती मध्ये, रेख EF हा व्यास आणि रेख DF हा स्पर्शिकाखंड आहे. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. तर सिद्ध करा - DE × GE = 4r2
एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 12.5 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळाचा व्यास किती सेमी आहे?
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर
(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.
आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.
आकृती मध्ये, केंद्र N असलेले वर्तुळ केंद्र M असणाऱ्या वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाला बिंदू S मध्ये स्पर्श करते. जर मोठ्या व लहान वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 9 सेमी व 2.5 सेमी असतील तर खालील प्रश्नांची उत्तरे शोधा आणि त्यांवरून MS : SR हे गुणोत्तर काढा.
(1) MT = किती?
(2) MN = किती?
(3) ∠NSM = किती?
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
दिलेल्या आकृतीत, Q केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या रेख PM आणि PN स्पर्शिका आहेत. जर ∠MPN = 40°, तर ∠MQN चे माप काढा.
'O' केंद्र असलेल्या वर्तुळाला P या बाह्यबिंदूतून AP ही A बिंदूपाशी स्पर्शिका काढली आहे. जर OP = 12 सेमी व ∠OPA = 30°, तर वर्तुळाची त्रिज्या ______ असेल.
वरील आकृतीत, C केंद्र असलेल्या वर्तुळाला A या बाह्यबिंदूतून AB आणि AD हे स्पर्शिकाखंड काढले आहेत. तर सिद्ध करा:
∠A = `1/2` [m(कंस BYD) - m(कंस BXD)]
