Balbharati solutions for गणित २ [मराठी] कक्षा १० महाराष्ट्र राज्य बोर्ड chapter 3 - वर्तुळ [Latest edition]

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 6 सेमी आहे. रेषा AB या वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते. या माहितीवरून खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.

(1) ∠CAB चे माप किती अंश आहे? का?

(2) बिंदू C हा रेषा AB पासून किती अंतरावर आहे? का?

(3) जर d(A,B) = 6 सेमी, तर d(B,C) काढा.

(4) ∠ABC चे माप किती अंश आहे? का?

दिलेल्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागातील R या बिंदूपासून काढलेले RM आणि RN हे स्पर्शिकाखंड वर्तुळाला बिंदू M आणि N मध्ये स्पर्श करतात. जर OR = 10 सेमी व वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी असेल तर-

(1) प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी किती?

(2) ∠MRO चे माप किती?

(3) ∠MRN चे माप किती?

रेख RM आणि रेख RN हे केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचे स्पर्शिकाखंड आहेत, तर रेख OR हा ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांचा दुभाजक आहे, हे सिद्ध करा.

त्रिज्या 4.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाच्या दोन स्पर्शिका परस्परांना समांतर आहेत. तर त्या स्पर्शिकांतील अंतर किती हे सकारण लिहा.

दोन अंतर्स्पर्शी वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 3.5 सेमी व 4.8 सेमी आहेत, तर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर किती आहे?

बाह्यस्पर्शी असलेल्या दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 5.5 सेमी व 4.2 सेमी असतील तर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर किती असेल?

त्रिज्या अनुक्रमे 4 सेमी आणि 2.8 सेमी असणारी, बाह्यस्पर्शी वर्तुळे काढा.

त्रिज्या अनुक्रमे 4 सेमी आणि 2.8 सेमी असणारी, अंतर्स्पर्शी वर्तुळे काढा.

आकृती मध्ये, केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू R मधून जाणारी रेषा त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर -

(1) रेख AP || रेख BQ हे सिद्ध करा.

(2) ΔAPR ~ ΔRQB हे सिद्ध करा.

(3) जर ∠PAR चे माप 35° असेल, तर ∠RQB चे माप ठरवा.

आकृती मध्ये, केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात. रेषा l ही त्यांची सामाईक स्पर्शिका त्यांना अनुक्रमे C व D मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 4 सेमी व 6 सेमी असतील, तर रेख CD ची लांबी किती असेल?

आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळावर G, D, E आणि F हे बिंदू आहेत. ∠ECF चे माप 70° आणि कंस DGF चे माप 200° असेल, तर कंस DE आणि कंस DEF यांची मापे ठरवा.

आकृती मध्ये ΔQRS समभुज आहे. तर दाखवा की -

(1) कंस RS ≅ कंस QS ≅ कंस QR

(2) कंस QRS चे माप 240° आहे.

आकृती मध्ये, जीवा AB ≅ जीवा CD, तर सिद्ध करा - कंस AC ≅ कंस BD

आकृती मध्ये, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या जीवा AB ची लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्येएवढी आहे. तर

(1) ∠AOB
(2) ∠ACB
(3) कंस AB आणि
(4) कंस ACB यांची मापे काढा.

आकृती मध्ये, `square`PQRS हा चक्रीय आहे. बाजू PQ ≅ बाजू RQ. ∠PSR = 110°, तर 

(1) ∠PQR = किती?

(2) m(कंस PQR) = किती?

(3) m(कंस QR) = किती?

(4) ∠PRQ = किती?

चक्रीय `square`MRPN मध्ये, ∠R = (5x - 13)° आणि ∠N = (4x + 4)°, तर ∠R आणि ∠N यांची मापे ठरवा. 

आकृती मध्ये रेख RS हा केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचा व्यास आहे. बिंदू T हा वर्तुळाच्या बाह्य-भागातील बिंदू आहे. तर दाखवा, की ∠RTS हा लघुकोन आहे.

कोणताही आयत हा चक्रीय चौकोन असतो हे सिद्ध करा.

आकृती मध्ये, रेख YZ आणि रेख XT हे ΔWXY चे शिरोलंब बिंदू P मध्ये छेदतात तर सिद्ध करा,

(1) `square`WZPT हा चक्रीय आहे.

(2) बिंदू X, Z, T, Y एकाच वर्तुळावर आहेत. 

आकृतीमध्ये, m(कंस NS) = 125°, m(कंस EF) = 37°, तर ∠NMS चे माप काढा.

आकृती मध्ये जीवा AC आणि जीवा DE बिंदू B मध्ये छेदतात. जर ∠ABE = 108° आणि m(कंस AE) = 95° तर m(कंस DC) काढा.

आकृती मध्ये, बिंदू Q हा स्पर्शबिंदू आहे. जर PQ = 12, PR = 8, तर PS = किती? RS = किती?

आकृती मध्ये, जीवा MN आणि RS एकमेकींना बिंदू D मध्ये छेदतात.

(1) जर RD = 15, DS = 4, MD = 8 तर DN = किती?

(2) जर RS = 18, MD = 9, DN = 8 तर DS = किती?

आकृती मध्ये, बिंदू B हा स्पर्शबिंदू आणि बिंदू O वर्तुळकेंद्र आहे. रेख OE ⊥ रेषा AD, AB = 12, AC = 8, तर (1) AD (2) DC आणि (3) DE काढा.

आकृती मध्ये, जर PQ = 6, QR = 10, PS = 8 तर TS = किती?

आकृती मध्ये, रेख EF हा व्यास आणि रेख DF हा स्पर्शिकाखंड आहे. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. तर सिद्ध करा - DE × GE = 4r² 

त्रिज्या अनुक्रमे 5.5 सेमी आणि 3.3 सेमी असलेली दोन वर्तुळे परस्परांना स्पर्श करतात. त्यांच्या केंद्रातील अंतर किती सेमी आहे?

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

परस्परांना छेदणाऱ्या दोन वर्तुळांपैकी प्रत्येक वर्तुळ दुसऱ्या वर्तुळाच्या केंद्रातून जाते. जर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर 12 सेमी असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या किती सेमी आहे?

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा.

‘एक वर्तुळ एका समांतरभुज चौकोनाच्या सर्व बाजूंना स्पर्श करते, तर तो समांतरभुज चौकोन ______ असला पाहिजे’, या विधानातील रिकाम्या जागी योग्य शब्द लिहा. 

एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 12.5 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळाचा व्यास किती सेमी आहे?

एकमेकांना बाहेरून स्पर्श करणाऱ्या दोन वर्तुळांना जास्तीत जास्त किती सामाईक स्पर्शिका काढता येतील?

केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या कंस ACB मध्ये ∠ACB अंतर्लिखित केला आहे. जर m∠ACB = 65° तर m(कंस ACB) = किती? 

एका वर्तुळाच्या जीवा AB आणि CD परस्परांना वर्तुळाच्या अंतर्भागात बिंदू E मध्ये छेदतात. जर (AE) = 5.6, (EB) = 10, (CE) = 8 तर (ED) = किती?

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

चक्रीय `square`ABCD मध्ये, कोन ∠A च्या मापाची दुप्पट ही ∠C च्या मापाच्या तिप्पटी एवढी आहे. तर ∠C चे माप किती? 

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

एकाच वर्तुळावर बिंदू A, B, C असे आहेत, की m(कंस AB) = m(कंस BC) = 120°, दोन्ही कंसात B शिवाय एकही बिंदू सामाईक नाही. तर ΔABC कोणत्या प्रकारचा आहे? 

रेख XZ व्यास असलेल्या वर्तुळाच्या अंतर्भागात Y हा एक बिंदू आहे. तर खालीलपैकी किती विधाने सत्य आहेत?

(i) ∠XYZ हा लघुकोन असणे शक्य नाही.

(ii) ∠XYZ हा काटकोन असणे शक्य नाही.

(iii) ∠XYZ हा विशालकोन आहे.

(iv) ∠XYZ च्या मापासंबंधी निश्चित विधान करता येणार नाही.

बिंदू O केंद्र असलेल्या वर्तुळाला रेषा l बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळाची त्रिज्या 9 सेमी असेल, तर खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा.

(1) d(O, P) = किती? का?

(2) जर d(O, Q) = 8 सेमी असेल. तर बिंदू Q चे स्थान कोठे असेल?

(3) d(O, R)=15 सेमी असेल तर बिंदू R ची किती स्थाने रेषा l वर असतील? ते बिंदू P किती अंतरावर असतील?

सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर

(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.

(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.

आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.

आकृती मध्ये, समांतरभुज `square`ABCD हा केंद्र T असलेल्या वर्तुळाभोवती परिलिखित केला आहे. (म्हणजे त्या चौकोनाच्या बाजू वर्तुळाला स्पर्श करतात.) बिंदू E, F, G आणि H हे स्पर्शबिंदू आहेत. जर AE = 4.5 आणि EB = 5.5, तर AD काढा.

आकृती मध्ये, केंद्र N असलेले वर्तुळ केंद्र M असणाऱ्या वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाला बिंदू S मध्ये स्पर्श करते. जर मोठ्या व लहान वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 9 सेमी व 2.5 सेमी असतील तर खालील प्रश्नांची उत्तरे शोधा आणि त्यांवरून MS : SR हे गुणोत्तर काढा.

(1) MT = किती?

(2) MN = किती?

(3) ∠NSM = किती?

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, त्रिज्या XA || त्रिज्या YB. खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.

रचना : रेख XZ आणि ______ काढले.

सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे ______ आहेत.

∴ ∠XZA ≅ ______ विरुद्ध कोन

∠XZA = ∠BZY = a मानू ______ (I)

आता, रेख XA ≅ रेख XZ    ______(______)

∴ ∠XAZ = ______ = a ______ (समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय) (II)

तसेच रेख YB ≅ ______ ______(______)

∴ ∠BZY = ______ = a ______(______) (III)

∴ (I), (II) व (III) वरून,

∠XAZ = ______

∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ______(______)  

आकृती मध्ये, केंद्र X व Y असणारी अंतर्स्पर्शी वर्तुळे बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. रेख BZ ही मोठ्या वर्तुळाची जीवा लहान वर्तुळाला बिंदू A मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा - रेख AX || रेख BY.

शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा. 

आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाचा रेख AB हा व्यास आहे. वर्तुळाची स्पर्शिका PQ वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ. तर सिद्ध करा - रेख CP ≅ रेख CQ. 

प्रत्येकी 3 सेमी त्रिज्येची, केंद्र A, B व C असणारी तीन वर्तुळे अशी काढा, की प्रत्येक वर्तुळ इतर दोन वर्तुळांना स्पर्श करेल.

वर्तुळाचे कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसतात, हे सिद्ध करा.

आकृती मध्ये रेषा PR वर्तुळाला बिंदू Q मध्ये स्पर्श करते. या आकृतीच्या आधारे खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा.

(1) ∠TAQ आणि ∠TSQ यांच्या मापांची बेरीज किती? 

(2) ∠AQP शी एकरूप असणारे कोन कोणते? 

(3) ∠QTS शी एकरूप असणारे कोन कोणते?

(4) जर ∠TAS = 65°, तर ∠TQS आणि कंस TS यांची मापे सांगा.

(5) जर ∠AQP = 42° आणि ∠SQR = 58°, तर ∠ATS चे माप काढा.

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या रेख PQ आणि रेख RS या एकरूप जीवा आहेत. जर ∠POR = 70° आणि m(कंस RS) = 80°, तर -

(1) m(कंस PR) किती?

(2) m(कंस QS) किती?

(3) m(कंस QSR) किती?

आकृती मध्ये, m(कंस WY) = 44°, m(कंस ZX) = 68°, तर ∠ZTX चे माप ठरवा.

आकृती मध्ये, m(कंस WY) = 44°, m(कंस ZX) = 68°, तर WT = 4.8, TX = 8.0, YT = 6.4 तर TZ = किती?

आकृती मध्ये, m(कंस WY) = 44°, m(कंस ZX) = 68°, तर WX = 25, YT = 8, YZ = 26, तर WT = किती?

आकृती मध्ये, m(कंस CE) = 54°, m(कंस BD) = 23°, तर ∠CAE = किती? 

आकृती मध्ये, AB = 4.2, BC = 5.4, AE = 12.0 तर AD = किती?

आकृती मध्ये, AB = 3.6, AC = 9.0, AD = 5.4 तर AE = किती?

दिलेल्या आकृतीत, जीवा EF || जीवा GH. तर सिद्ध करा, जीवा EG ≅ जीवा FH . पुढे दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरा आणि सिद्धता लिहा. सिद्धता : रेख GF काढला. 

∠EFG = ∠FGH ....... ______ (I)

∠EFG = ______ (अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय) (II)

∠FGH = ______ (अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय) (III)

∴ m (कंस EG) = ______ [(I), (II) व (III) वरून]

जीवा EG ≅ जीवा FH .......(______)  

खालील आकृतीत बिंदू P हा स्पर्शबिंदू आहे.

m(कंस PR) = 140, ∠POR = 36° तर m(कंस PQ) = किती?

खालील आकृतीत बिंदू P हा स्पर्शबिंदू आहे.

OP = 7.2, OQ = 3.2, OR = किती? QR = किती?

खालील आकृतीत बिंदू P हा स्पर्शबिंदू आहे.

OP = 7.2, OR = 16.2, तर QR = किती?

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र C असलेेले वर्तुळ केंद्र D असलेल्या वर्तुळाला बिंदू E मध्ये आतून स्पर्श करते. बिंदू D हा आतील वर्तुळावर आहे. बाहेरील वर्तुळाची जीवा EB ही आतील वर्तुळाला बिंदू A मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, की रेख EA ≅ रेख AB.

आकृती मध्ये, रेख AB हा केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचा व्यास आहे. अंतर्लिखित कोन ACB चा दुभाजक वर्तुळाला बिंदू D मध्ये छेदतो. तर रेख AD ≅ रेख BD हे सिद्ध करा. पुढे दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून ती पूर्ण करा आणि लिहा.

सिद्धता : रेख OD काढला.

∠ACB = ______ ....(अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित कोन)

∠DCB = ______ .....(रेख CD हा ∠C चा दुभाजक)

m(कंस DB) = ______ ....(अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय)

∠DOB = ______ ....(कंसाच्या मापाची व्याख्या) (I)

रेख OA ≅ रेख OB .......... ______ (II)

∴ रेषा OD ही रेख AB ची ______ रेषा आहे. (I) व (II) वरून

∴ रेख AD ≅ रेख BD

सोबतच्या आकृतीत रेख MN ही केंद्र O असलेेल्या वर्तुळातील जीवा आहे. MN = 25, जीवा MN वर बिंदू L असा आहे की ML = 9 आणि d(O,L) = 5 तर या वर्तुळाची त्रिज्या किती असेल?

आकृती मध्ये दोन वर्तुळे परस्परांना बिंदू S व R मध्ये छेदतात. त्यांची रेषा PQ ही सामाईक स्पर्शिका त्यांना बिंदू P व Q मध्ये स्पर्श करते, तर सिद्ध करा - ∠PRQ + ∠PSQ = 180° 

आकृती मध्ये, दोन वर्तुळे एकमेकांना बिंदू M व N मध्ये छेदतात. बिंदू M व N मधून काढलेल्या वृत्तछेदिका बिंदू R व S मध्ये, आणि बिंदू P व Q मध्ये छेदतात. तर रेख PR || रेख QS, हे सिद्ध करा.

दोन वर्तुळे परस्परांना बिंदू A व E मध्ये छेदतात. बिंदू E मधून काढलेली त्यांची सामाईक वृत्तछेदिका वर्तुळांना बिंदू B व D मध्ये छेदते. बिंदू B व D मधून काढलेल्या स्पर्शिका एकमेकींना बिंदू C मध्ये छेदतात. सिद्ध करा : `square`ABCD चक्रीय आहे.

ΔABC मध्ये, रेख AD ⊥ बाजू BC, रेख BE ⊥ बाजू AC, रेख CF ⊥ बाजू AB. बिंदू O हा शिरोलंबसंपात आहे. तर बिंदू O हा ΔDEF चा अंतर्मध्य होतो, हे सिद्ध करा.