Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दिलेल्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागातील R या बिंदूपासून काढलेले RM आणि RN हे स्पर्शिकाखंड वर्तुळाला बिंदू M आणि N मध्ये स्पर्श करतात. जर OR = 10 सेमी व वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी असेल तर-
(1) प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी किती?
(2) ∠MRO चे माप किती?
(3) ∠MRN चे माप किती?
Advertisements
उत्तर
उकल:
बिंदू O हा वर्तुळकेंद्र आहे व रेषा RM व RN ह्या वर्तुळाच्या स्पर्शिका आहेत. ....[पक्ष]
∴ ∠OMR = ∠ONR = 90° ......[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
(1) ΔOMR मध्ये, ∠OMR = 90°
∴ OR2 = OM2 + RM2 ....[पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 102 = 52 + RM2
∴ 100 = 25 + RM2
∴ RM2 = 75
∴ RM = `sqrt(75)` ....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]
= `5sqrt(3)` सेमी
∴ RM = RN .............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी `5sqrt(3)` सेमी आहे.
(2) ΔRMO मध्ये,
∠OMR = 90° ............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
OM = 5 सेमी आणि OR = 10 सेमी
∴ OM = `1/2` OR
∴ ∠MRO = 30° ....(i) [30° - 60° - 90° प्रमेयाचा व्यत्यास]
त्याचप्रमाणे, ∠NRO = 30°
(3) परंतु, ∠MRN = ∠MRO + ∠NRO .....[कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म]
= 30° + 30° .....[(i) वरून]
∴ ∠MRN = 60°
संबंधित प्रश्न
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 6 सेमी आहे. रेषा AB या वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते. या माहितीवरून खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.
(1) ∠CAB चे माप किती अंश आहे? का?
(2) बिंदू C हा रेषा AB पासून किती अंतरावर आहे? का?
(3) जर d(A,B) = 6 सेमी, तर d(B,C) काढा.
(4) ∠ABC चे माप किती अंश आहे? का?
त्रिज्या 4.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाच्या दोन स्पर्शिका परस्परांना समांतर आहेत. तर त्या स्पर्शिकांतील अंतर किती हे सकारण लिहा.
आकृती मध्ये, केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू R मधून जाणारी रेषा त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर -
(1) रेख AP || रेख BQ हे सिद्ध करा.
(2) ΔAPR ~ ΔRQB हे सिद्ध करा.
(3) जर ∠PAR चे माप 35° असेल, तर ∠RQB चे माप ठरवा.
एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 12.5 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळाचा व्यास किती सेमी आहे?
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर
(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.
आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.
आकृती मध्ये, केंद्र N असलेले वर्तुळ केंद्र M असणाऱ्या वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाला बिंदू S मध्ये स्पर्श करते. जर मोठ्या व लहान वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 9 सेमी व 2.5 सेमी असतील तर खालील प्रश्नांची उत्तरे शोधा आणि त्यांवरून MS : SR हे गुणोत्तर काढा.
(1) MT = किती?
(2) MN = किती?
(3) ∠NSM = किती?
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी आकृतीच्या आधारे खालील कृती पूर्ण करा.
पक्ष: `square`
साध्य: `square`
सिद्धता:
त्रिज्या AP आणि AQ काढून प्रमेयाची खाली दिलेली सिद्धता रिकाम्या जागा भरून पूर्ण करा.
ΔPAD आणि ΔQAD यांमध्ये,
बाजू PA ≅ बाजू `square` ...........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
बाजू AD ≅ बाजू AD ...............[`square`]
∠APD ≅ ∠AQD = 90° ............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ ΔPAD ≅ ΔQAD ..................[`square`]
∴ बाजू DP ≅ बाजू DQ ...............[`square`]
आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा?
