Question

दिलेल्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागातील R या बिंदूपासून काढलेले RM आणि RN हे स्पर्शिकाखंड वर्तुळाला बिंदू M आणि N मध्ये स्पर्श करतात. जर OR = 10 सेमी व वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी असेल तर-

(1) प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी किती?

(2) ∠MRO चे माप किती?

(3) ∠MRN चे माप किती?

 

Answer 1

उकल: 

बिंदू O हा वर्तुळकेंद्र आहे व रेषा RM व RN ह्या वर्तुळाच्या स्पर्शिका आहेत.  ....[पक्ष]

∴ ∠OMR = ∠ONR = 90° ......[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

(1) ΔOMR मध्ये, ∠OMR = 90°

∴ OR² = OM² + RM²  ....[पायथागोरसचे प्रमेय]

∴ 10² = 5² + RM²

∴ 100 = 25 + RM² 

∴ RM² = 75

∴ RM = `sqrt(75)`  ....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]

= `5sqrt(3)` सेमी

∴ RM = RN .............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय] 

∴ प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी `5sqrt(3)` सेमी आहे.

(2) ΔRMO मध्ये,

∠OMR = 90° ............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय] 

OM = 5 सेमी आणि OR = 10 सेमी

∴ OM = `1/2` OR

∴ ∠MRO = 30°  ....(i) [30° - 60° - 90° प्रमेयाचा व्यत्यास]

त्याचप्रमाणे, ∠NRO = 30°

(3) परंतु, ∠MRN = ∠MRO + ∠NRO .....[कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म]

= 30° + 30° .....[(i) वरून]

∴ ∠MRN = 60°