Question

त्रिघात बहुपद `6x^3 + sqrt2x^2 - 10x - 4sqrt2` का एक शून्यक `sqrt2` दिया है। इसके अन्य दो शून्यक ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया गया है, `sqrt(2)` घन बहुपद के शून्यकों में से एक है।

फिर, `(x - sqrt(2))` दिए गए बहुपद p(x) = `6x^3 + sqrt(2)x^2 - 10x - 4sqrt(2)` के गुणनखंडों में से एक है।

तो, p(x) को `x - sqrt(2)` से विभाजित करके

                   `6x^2 + 7sqrt(2)x + 4`
`(x - sqrt(2))")"overline(6x^3 + sqrt(2)x^2 - 10x - 4sqrt(2))`
                    `6x^3 - 6sqrt(2)x^2`
                     –     +                                   
                               `7sqrt(2)x^2 - 10x - 4sqrt(2)`
                               `7sqrt(2)x^2 - 14x`
                               –       +                 
                                        `4x - 4sqrt(2)`
                                        `4x - 4sqrt(2)`   
                                                           
                                               0

`6x^3 + sqrt(2)x^2 - 10x - 4sqrt(2) = (x - sqrt(2)) (6x^2 + 7sqrt(2)x + 4)`

मध्य पद को विभाजित करके,

हम पाते हैं,

`(x - sqrt(2)) (6x^2 + 4sqrt(2)x + 3sqrt(2)x + 4)`

= `(x - sqrt(2)) [2x(3x + 2sqrt(2)) + sqrt(2)(3x + 2sqrt(2))]`

= `(x - sqrt(2)) (2x + sqrt(2)) (3x + 2sqrt(2))`

p(x) के शून्यक प्राप्त करने के लिए,

स्थानापन्न p(x) = 0

`(x - sqrt(2)) (2x + sqrt(2)) (3x + 2sqrt(2))` = 0

`x = sqrt(2) , x = -sqrt(2)/2, x = (-2sqrt(2))/3`

अतः p(x) के अन्य दो शून्य `-sqrt(2)/2` और `(-2sqrt(2))/3` हैं।