Question

P(6,-6), Q(3,-7) आणि R(3,3) यांतून जाणाऱ्या वर्तुळाच्या केंद्राचे निर्देशक काढा. 

Answer 1

समजा, O(h, k) हा बिंदू P, Q व R मधून जाणाऱ्या वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे.

OP = OQ ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ `sqrt((h - 6)^2 + [k - (-6)]^2) = sqrt((h - 3)^2 + [k - (-7)]^2)` ....[अंतराच्या सूत्रानुसार]

∴ (h - 6)² + [k - (-6)]² = (h - 3)² + [k - (-7)]² ......[दोन्ही बाजूंचे वर्ग करून]

∴ (h - 6)² + (k + 6)² = (h - 3)² + (k + 7)² 

∴ h² - 12h + 36 + k² + 12k + 36 = h² - 6h + 9 + k² + 14k + 49 

∴ 6h + 2k = 14

∴ 3h + k = 7  ...(i) [दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून]

OP = OR ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ `sqrt((h - 6)^2 + [k - (-6)]^2) = sqrt((h - 3)^2 + (k - 3)^2)` ....[अंतराच्या सूत्रानुसार]

∴ (h - 6)² + [k - (-6)]² = (h - 3)² + (k - 3)² ......[दोन्ही बाजूंचे वर्ग करून]

∴ (h - 6)² + (k + 6)² = (h - 3)² + (k - 3)²

∴ h² - 12h + 36 + k² + 12k + 36 = h² - 6h + 9 + k² - 6k + 9 

∴ 6h - 18k = 54

∴ 3h - 9k = 27 .....(ii) [दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून]

समीकरण (i) मधून (ii) वजा करून, 

3h + k = 7
3h - 9k = 27
-    +      -
10k = -20

∴ k = `(-20)/10 = -2`

k ची किंमत समीकरण (i) मध्ये ठेवून,

3h + k = 7

∴ 3h - 2 = 7

∴ 3h = 9

∴ h = `9/3 = 3`

∴ वर्तुळाच्या केंद्राचे निर्देशक (3, -2) आहेत.