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प्रश्न
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(-2", यदि" x <= -1),(2x", यदि" -1 < x <= 1),(2", यदि" x > 1):}`
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उत्तर
f(x) = `{(-2", यदि" x <= -1),(2x", यदि" -1 < x <= 1),(2", यदि" x > 1):}`
x < 1 के लिए f(x) = −2;
−1 < x < 1, f(x) = 2x तथा
x > 1, f(x) = 2 एक बहुपद फलन है।
इसलिए यह फलन है।
x = −1 पर,
`lim_(x -> 1^-)` f(x) = `lim_(x -> 1^-)` (−2) = −2
`lim_(x -> 1^+)` f(x) = `lim_(x -> 1^+)` (2x)
= `lim_(h -> 0)` [2 (−1 + h)]
= `lim_(h -> 0)` (−2 + 2h)
= −2 + 0
= −2
f(−1) = −2
अत: x = −1 पर f संतत है।
x = 1 पर,
`lim_(x -> 1^-)` f(x) = `lim_(x -> 1^-)` (2x)
= `lim_(h -> 0)` [2(1 − h)]
= `lim_(h -> 0)` (2 − 2h)
= 2 − 2 × 0
= 2
`lim_(x -> 1^+)` f(x) = `lim_(x -> 1^+)` (2) = 2
f(1) = 2 × 1 = 2
अत: x = 1 पर f संतत है।
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