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प्रश्न
दर्शाइए कि g(x) = x − [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
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उत्तर
माना, n ∈ I।
तब `lim_(x->n^-)` [x] = n − 1 ....(∵ [x] = n − 1 ∀ x ∈ [n − 1, n])
और g(n) = n − n = 0 ....(∵ [n] = n क्योंकि n ∈ I])
अब,
`lim_(x->n^-) g(x) = lim_(x->n^-) (x - [x]) = lim_(x->n^-) x - lim_(x->n^-)[x]`
= n − (n − 1) = 1
और `lim_(x->n^+) g(x) = lim_(x->n^+)(x - [x]) = lim_(x->n^+)x - lim_(x->n^+)[x]`
= n − n = 0
`lim_(x->n^-) g(x) ne lim_(x->n^+)g(x)`
अतः g(x) किसी भी पूर्णांक बिंदुक पर संतत नहीं है।
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