Question

समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति में)। दर्शाइए कि

1. ΔAPD ≅ ΔCQB
2. AP = CQ
3. ΔAQB ≅ ΔCPD
4. AQ = CP
5. APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

Answer 1

(i) ΔAPD और ΔCQB में,

∠ADP = ∠CBQ         ...(BC || AD के लिए एकांतर अंत: कोण)

AD = CB                   ...(समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ)

DP = BQ              ...(दिया गया है)

∴ ΔAPD ≅ ΔCQB       ...(SAS सर्वांगसमता नियम का उपयोग करके)

(ii) जैसा कि हमने देखा था कि ΔAPD ≅ ΔCQB,

∴ AP = CQ         ...(CPCT)

(iii) ΔAQB और ΔCPD में,

∠ABQ = ∠CDP         ...(AB || CD के लिए एकांतर अंत: कोण)

AB = CD           ...(समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ)

BQ = DP          ...(दिया गया है)

∴ ΔAQB ≅ ΔCPD      ...(SAS सर्वांगसमता नियम का उपयोग करके)

(iv) जैसा कि हमने देखा था कि ΔAQB ≅ ΔCPD,

∴ AQ = CP              ...(CPCT)

(v) (ii) और (iv) में प्राप्त परिणामों से,

AQ = CP और

AP = CQ

क्योंकि चतुर्भुज APCQ में सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, इसलिए APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।