Question

\[\int \sin^7 x  \text{ dx }\]

Answer 1

∫ sin⁷ x dx
= ∫ sin⁶ x . sin x dx
= ∫ (sin² x)³ sin x dx
= ​​∫ (1 – cos² x)³ sin x dx

Let cos x = t
⇒ –sin x dx = dt
⇒ sin x dx = – dt
Now, ∫ (1 – cos² x)³ sin x dx

= ∫ (1 – t²)³ . (–dt)
= –​∫ (1 – t⁶ – 3t² + 3t⁴) dt

\[= - \left[ t - \frac{t^7}{7} - t^3 + \frac{3 t^5}{5} \right] + C\]
\[ = - \left[ \cos x - \frac{\cos^7 x}{7} - \cos^3 x + \frac{3}{5} \cos^5 x \right] + C\]
\[ = - \cos x + \frac{1}{7} \cos^7 x + \cos^3 x - \frac{3}{5} \cos^5 x + C\]