Question

\[\int \sin^3 x \cos^5 x \text{ dx  }\]

Answer 1

∫ sin³ x . cos⁵ x dx
​= ∫ sin² x . cos⁵ x . sin x dx
= ∫ (1 – cos² x) . cos⁵ x sin x dx

Let cos x = t
⇒ – sin x dx = dt
⇒ sin x dx = – dt

Now, ∫ (1 – cos² x) . cos⁵ x sin x dx
= –​∫ (1 – t²) t⁵ dt
= –∫ (t⁵ – t⁷) dt
= ∫(t⁷ – t⁵) dt

\[= \frac{t^8}{8} - \frac{t^6}{6} + C\]
\[ = \frac{\cos^8 x}{8} - \frac{\cos^6 x}{6} + C\]