Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R एकैक (Injective) है।
Advertisements
उत्तर १
f : R → R इस प्रकार दिया गया है f(x) = x3।
मान लीजिए f(x) = f(y), जहाँ x, y ∈ R।
⇒ x3 = y3 ... (1)
अब, हमें यह दर्शाना होगा कि x = y।
मान लीजिए x ≠ y; उनके घन भी बराबर नहीं होंगे।
⇒ x3 ≠ y3
हालाँकि, यह (1) के विपरीत होगा।
∴ x = y
अतः f एकैक फलन है।
उत्तर २
मान लीजिए x1, x2 ∈ R इस प्रकार है कि
f(x1) = f(x2)
⇒ `x_1^3 = x_2^3`
⇒ x1 = x2
∴ f(x) = x3 फलन एकैकी है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `f (x) = 1/x` द्वारा परिभाषित फलन f : R* → R* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R* सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R* को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R* ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x, यदि x धन या शून्य है तथा |x| बराबर − x, यदि x ऋण है।
सिद्ध कीजिए कि f : R → R, f(x) = `{(1", यदि" x > 0), (0", यदि" x = 0), (-1", यदि" x < 0):}` द्वारा प्रदत्त चिन्ह फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।
निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
f(x) = 3 − 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
f(x) = 1 + x2 द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × A, इस प्रकार कि f(a, b) = f(b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए, f(n) = `{((n+1)/2", यदि n विषम है"),(n/2", यदि n सम है"):}` द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
मान लीजिए कि A = R − {3} तथा B = R − {1} हैं। f(x) = `((x - 2)/(x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = x4 द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।
मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए:
मान लीजिए कि f : R → R, f(x) = 10x + 7 द्वारा परिभाषित फलन है | एक ऐसा फलन g : R → R ज्ञात कीजिए जिसके लिए g o f = f o g = 1R हो |
दो फलनों f : N → Z तथा g : Z → Z के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि, gof एकैक है परंतु g एकैक नहीं है |
(संकेतन: f(x) = x तथा g(x) = |x| पर विचार कीजिए |)
समुच्चय {1, 2, 3, ..., n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
