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प्रश्न
निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
f(x) = 1 + x2 द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
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उत्तर
f(x) = 1 + x2 द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
मान लीजिए x1, x2 ∈ R इस प्रकार कि f(x1) = f(x2)
⇒ `1 + x_1^2 = 1 + x_2^2`
⇒ `x_1^2 = x_2^2`
⇒ x1 = ±x2
∴ f(x1) = f(x2) का अर्थ यह नहीं है कि x1 = x2।
उदाहरण के लिए, f(1) = f(−1) = 2
∴ f एकैकी फलन नहीं है।
सहप्रांत R में तत्व −2 पर विचार करें।
यह देखा गया है कि f(x) = 1 + x2 सभी x ∈ R के लिए धनात्मक है।
इस प्रकार, प्रांत R में ऐसा कोई x मौजूद नहीं है जिससे f(x) = −2 हो।
∴ f आच्छादक नहीं है।
इसलिए, f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है, अतः यह एकैकी आच्छादक नहीं है।
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