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प्रश्न
समुच्चय {1, 2, 3, ..., n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
समुच्चय {1, 2, 3, ..., n} से स्वयं के कार्यों पर n प्रतीकों 1, 2, ..., n पर केवल एक क्रमपरिवर्तन है।
समुच्चय {1, 2, ..., n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या के कुल क्रमचयों की संख्या 1, 2, ..., n के बराबर होगी, जो कि n! है।
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सिद्ध कीजिए कि `f (x) = 1/x` द्वारा परिभाषित फलन f : R* → R* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R* सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R* को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R* ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
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निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है।
निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
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निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
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निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
f(x) = 1 + x2 द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × A, इस प्रकार कि f(a, b) = f(b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए, f(n) = `{((n+1)/2", यदि n विषम है"),(n/2", यदि n सम है"):}` द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
मान लीजिए कि A = R − {3} तथा B = R − {1} हैं। f(x) = `((x - 2)/(x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए:
मान लीजिए कि f : R → R, f(x) = 10x + 7 द्वारा परिभाषित फलन है | एक ऐसा फलन g : R → R ज्ञात कीजिए जिसके लिए g o f = f o g = 1R हो |
सिद्ध कीजिए कि f : R → {x ∈ R : −1 < x < 1} जहाँ f(x) = `x/(1 + |x|)`, x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।
सिद्ध कीजिए कि f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R एकैक (Injective) है।
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(संकेत: f(x) = x + 1 तथा g(x) = `{{:(x - 1"," x > 1),(1"," x = 1):}` पर विचार कीजिए |)
