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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि f : R → {x ∈ R : −1 < x < 1} जहाँ f(x) = `x/(1 + |x|)`, x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।
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उत्तर
यह दिया गया है कि f : R → {x ∈ R : −1 < x < 1} को f(x) = `x/(1+ |x|)`, x ∈ R के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान लीजिए f(x) = f(y), जहाँ x, y ∈ R।
⇒ `x/(1 + |x|) = y/(1 + |y|)`
⇒ 2xy = x − y
⇒ `x/(1 + x) = y/(1 - y) `
⇒ x + xy = y + xy
⇒ x = y
चूँकि x धनात्मक तथा y ऋणात्मक है।
x > y
⇒ x = y > 0
लेकिन 2xy ऋणात्मक है।
फिर, 2xy ≠ x − y
इस प्रकार, x के धनात्मक और y के ऋणात्मक होने की स्थिति को खारिज किया जा सकता है।
इसी तरह के तर्क के तहत, x के ऋणात्मक और y के धनात्मक होने की स्थिति को भी खारिज किया जा सकता है।
∴ x और y को या तो धनात्मक या ऋणात्मक होना चाहिए।
जब x और y दोनों धनात्मक हों, तो हमारे पास है:
⇒ f(x) = f(y)
⇒ `x/(1 +| x|) = y/(1 - |y|) `
⇒ `x/(1+x) = y/(1+y)`
⇒ x + xy = y + xy
⇒ x = y
जब x और y दोनों ऋणात्मक हों, तो हमारे पास है:
f(x) = f(y)
⇒ `x/(1 -x) = y/(1- y) `
⇒ x − xy = y − yx
⇒ x = y
∴ f एकैकी फलन है।
अब, मान लीजिए y ∈ R इस प्रकार है की, −1 < y < 1।
यदि x ऋणात्मक हो, तो x = `y/(1 + y) ∈ R` इस प्रकार विद्यमान होगा कि,
`f(x) = f(y/(1+y)) `
`= ((y/(1+y)))/(1+ |y/(1 + y)|)`
`= (y/(1+y))/(1 + (-y)/(1+y))`
`= y/(1 +y - y)`
= y
यदि, x धनात्मक हो, तो x = `y/(1 - y)∈ R` इस प्रकार विद्यमान होगा कि,
`f(x) = f(y/(1-y)) = (y/(1-y))/(1 + |(y/(1-y))|)`
`= (y/(1-y))/(1+y/(1-y))`
`= y/(1 - y + y)`
= y
∴ f आच्छादक है।
अतः, f एकैकी तथा आच्छादक फलन है।
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